Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fron teira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então
integral duplaS F cdot d S=integral triplaE div F d V, esse é o teorema é
A. do divergente
B. de Green
C. do campo escalar
D. do rotacional
E. de stokes

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região sólida com sua superfície de fronteira , que está orientada para fora. Também temos um campo vetorial com componentes que têm derivadas parciais contínuas na região que contém . A questão apresenta uma equação que relaciona a integral de superfície de sobre com a integral de volume do divergente de sobre . Precisamos identificar qual teorema da matemática está sendo descrito nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. A expressão
integral duplaS F cdot dS
é a integral de superfície do campo vetorial integral triplaE div F , dV sobre a superfície . Basicamente, isso mede o fluxo do campo saindo da região .
Por outro lado, a expressão
é a integral de volume do divergente de sobre a região . O divergente, indicado por , mede a “taxa de saída” do campo em cada ponto dentro de .

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa equação com os teoremas que conhecemos. Vamos relembrar alguns:
  • Teorema do Divergente (ou Gauss): Relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume do divergente desse campo.
  • Teorema de Green: Geralmente aplicado em planos, relaciona uma integral de linha com uma integral dupla no plano.
  • Teorema de Stokes: Conecta a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao longo da borda da superfície.
  • Teorema do Rotacional e teorema do campo escalar: Não são teoremas padrão comumente referenciados na matemática vetorial.
A equação dada claramente relaciona a integral de superfície com a integral de volume do divergente, que é exatamente o que o Teorema do Divergente descreve.

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que a equação apresentada na questão está descrevendo o Teorema do Divergente.

Resposta

A. do divergente

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