Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fron teira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então
A. do divergente
B. de Green
C. do campo escalar
D. do rotacional
E. de stokes
B. de Green
C. do campo escalar
D. do rotacional
E. de stokes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região sólida
com sua superfície de fronteira
, que está orientada para fora. Também temos um campo vetorial
com componentes que têm derivadas parciais contínuas na região que contém
. A questão apresenta uma equação que relaciona a integral de superfície de
sobre
com a integral de volume do divergente de
sobre
. Precisamos identificar qual teorema da matemática está sendo descrito nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação significa. A expressão
é a integral de superfície do campo vetorial
sobre a superfície
. Basicamente, isso mede o fluxo do campo
saindo da região
.
Por outro lado, a expressão
é a integral de volume do divergente de
sobre a região
. O divergente, indicado por
, mede a “taxa de saída” do campo
em cada ponto dentro de
.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa equação com os teoremas que conhecemos. Vamos relembrar alguns:
- Teorema do Divergente (ou Gauss): Relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume do divergente desse campo.
- Teorema de Green: Geralmente aplicado em planos, relaciona uma integral de linha com uma integral dupla no plano.
- Teorema de Stokes: Conecta a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao longo da borda da superfície.
- Teorema do Rotacional e teorema do campo escalar: Não são teoremas padrão comumente referenciados na matemática vetorial.
A equação dada claramente relaciona a integral de superfície com a integral de volume do divergente, que é exatamente o que o Teorema do Divergente descreve.
Passo 4
Com base nisso, podemos concluir que a equação apresentada na questão está descrevendo o Teorema do Divergente.
Resposta
A. do divergente