Nos exercícios abaixo é dado uma das três funções sin (x), cos (x) ou tan (x), encontre as duas outras que faltam:
tan x=12, x in[pi, 3 pi2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá que tan(x) = 12 e que o ângulo x está no intervalo [pi, 3pi2]. Nosso objetivo aqui é encontrar as outras duas funções trigonométricas que faltam, ou seja, sin(x) e cos(x). Para resolver isso, vamos precisar usar algumas relações básicas das funções trigonométricas e entender um pouco sobre os quadrantes dos ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan(x) = sin(x)cos(x). Então, se sabemos que tan(x) = 12, podemos escrever:
sin(x)cos(x) = 12
Isso significa que sin(x) = 12 cos(x). Mas ainda precisamos descobrir os valores exatos de sin(x) e cos(x).

Passo 3

Para encontrar sin(x) e cos(x), vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Vamos substituir sin(x) por 12 cos(x) nessa equação:
(12 cos(x))^2 + cos^2(x) = 1
Simplificando:
14 cos^2(x) + cos^2(x) = 1 54 cos^2(x) = 1 cos^2(x) = 45 cos(x) = pm 2raiz5

Passo 4

Agora precisamos determinar o sinal de cos(x) no intervalo dado [pi, 3pi2]. Esse intervalo corresponde ao terceiro quadrante, onde tanto o seno quanto o cosseno são negativos. Portanto:
cos(x) = -2raiz5

Passo 5

Com o valor de cos(x), podemos encontrar sin(x) usando a relação sin(x) = 12 cos(x):
sin(x) = 12 times (-2raiz5) = -1raiz5

Resposta

Então, as funções trigonométricas são:
sin(x) = -1raiz5, cos(x) = -2raiz5, tan(x) = 12

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