Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e aos testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer sobre convergência absoluta, convergência condicional e alguns testes como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série converge condicionalmente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Sabemos que . Vamos substituir isso na série:
Passo 5
Agora, temos duas séries separadas:
A segunda série, , é uma série convergente conhecida como série de Dirichlet. Porém, a primeira série, , é similar à série harmônica multiplicada por e divergirá porque cresce exponencialmente.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge (porque uma das séries componentes diverge), a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente utilizando o Teste da Série Alternada. Para isso, analisamos se:
é uma sequência positiva.
é monótona decrescente.
.
Passo 8
Primeiro, para todo . Segundo, vamos verificar se é decrescente. Derivando ou analisando o comportamento, percebemos que cresce mais rápido que , então diminui conforme aumenta.
Passo 9
Por fim, calculamos o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito, o que significa que a série original também não converge condicionalmente.
Resposta
A série não converge absolutamente nem condicionalmente.