Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k cosh 2 kk e^k

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e aos testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer sobre convergência absoluta, convergência condicional e alguns testes como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série converge condicionalmente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | (-1)^k cosh 2kk e^k | = sumk=1^infty cosh 2kk e^k

Passo 4

Sabemos que sumk=1^infty e^2k + e^-2k2k e^k = 12 sumk=1^infty ( e^2kk e^k + e^-2kk e^k ) = 12 sumk=1^infty ( e^kk + e^-3kk ) . Vamos substituir isso na série:

Passo 5

Agora, temos duas séries separadas:
12 ( sumk=1^infty e^kk + sumk=1^infty e^-3kk )
A segunda série, , é uma série convergente conhecida como série de Dirichlet. Porém, a primeira série, , é similar à série harmônica multiplicada por e divergirá porque cresce exponencialmente.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge (porque uma das séries componentes diverge), a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente utilizando o Teste da Série Alternada. Para isso, analisamos se:
  1. é uma sequência positiva.
  2. é monótona decrescente.
  3. .

Passo 8

Primeiro, para todo . Segundo, vamos verificar se é decrescente. Derivando ou analisando o comportamento, percebemos que cresce mais rápido que , então diminui conforme aumenta.

Passo 9

Por fim, calculamos o limite:
limk to infty cosh 2kk e^k = limk to infty e^2k + e^-2k2k e^k = limk to infty e^2k2 k e^k = limk to infty e^k2 k = infty
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não é satisfeito, o que significa que a série original também não converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem condicionalmente.

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