Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
b) h(x) = raiz(cubica(x)), -1 <= x <= 8
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto (8,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função no intervalo de a . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores mínimo e máximo absolutos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta, tipo onde ela está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Para , podemos reescrever como . Usando a regra da potência, a derivada fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. Olhando para , percebemos que a derivada nunca é zero porque o denominador nunca é infinito. No entanto, existe um ponto onde a derivada não está definida: quando .

Passo 4

Mesmo que a derivada não exista em , a função continua definida e suave ali. Isso significa que a função está aumentando em todo o intervalo , já que a derivada é sempre positiva onde está definida. Sem pontos onde a função troca de direção, os únicos candidatos para mínimo e máximo absolutos são as extremidades do intervalo.

Passo 5

Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo:
  • Em :
  • Em :

Resposta

Mínimo absoluto em e Máximo absoluto em .

Exercícios relacionados