Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
no intervalo de
a
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores mínimo e máximo absolutos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta, tipo onde ela está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Para
, podemos reescrever como
. Usando a regra da potência, a derivada fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é zero ou não existe. Olhando para
, percebemos que a derivada nunca é zero porque o denominador nunca é infinito. No entanto, existe um ponto onde a derivada não está definida: quando
.
Passo 4
Mesmo que a derivada não exista em
, a função
continua definida e suave ali. Isso significa que a função está aumentando em todo o intervalo
, já que a derivada é sempre positiva onde está definida. Sem pontos onde a função troca de direção, os únicos candidatos para mínimo e máximo absolutos são as extremidades do intervalo.
Passo 5
Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Mínimo absoluto em
e Máximo absoluto em
.
Exercícios relacionados
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a)
(a)
Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
c)
Resposta: Mínimo absoluto ) e Máximo absoluto
c)
Resposta: Mínimo absoluto
Mostre que as funções abaixo têm pelo menos uma raiz no intervalo dado.
Resposta: e
Resposta: