Mostre que as funções abaixo têm pelo menos uma raiz no intervalo dado.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
. Aqui estamos trabalhando com Teorema do Valor Intermediário da matemática, que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas. Para resolver, vamos precisar verificar os valores da função nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função em
:
Então,
, que é maior que zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função em
:
Assim,
, que é menor que zero.
Passo 4
A gente vê que
e
. Isso significa que a função mudou de sinal no intervalo
.
Passo 5
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como nossa função é um polinômio, ela é contínua em todo lugar.
Resposta
Portanto, a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
c)
Resposta: Mínimo absoluto ) e Máximo absoluto
c)
Resposta: Mínimo absoluto
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b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
Nos exercícios a seguir, determine uma primitiva para cada função.
c)
Resposta:
c)
Resposta:
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f)
Resposta:
f)
Resposta: