Mostre que as funções abaixo têm pelo menos uma raiz no intervalo dado.
f(x) = x^4 + 3x + 1, [-2, -1]
Resposta: f(-2) = 11 > 0 e f(-1) = -1 < 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo . Aqui estamos trabalhando com Teorema do Valor Intermediário da matemática, que nos ajuda a encontrar raízes de funções contínuas. Para resolver, vamos precisar verificar os valores da função nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em :
Então, , que é maior que zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função em :
Assim, , que é menor que zero.

Passo 4

A gente vê que e . Isso significa que a função mudou de sinal no intervalo .

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo. Como nossa função é um polinômio, ela é contínua em todo lugar.

Resposta

Portanto, a função tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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