Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
c)
Resposta: Mínimo absoluto
) e Máximo absoluto
c)
Resposta: Mínimo absoluto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente as derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a identificar pontos onde a função pode atingir seus extremos (ou seja, os valores mais altos e mais baixos dentro do intervalo).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função em um intervalo, precisamos identificar os “pontos críticos”. Esses pontos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. A derivada primeira nos dá a inclinação da função, então onde ela é zero, a função pode estar no topo ou na base de uma “colina” ou “vale”.
Então, vamos calcular a primeira derivada de :
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
:
Sabemos que o cosseno de
é zero quando
, onde
é um inteiro. Dentro do nosso intervalo
, o único valor que satisfaz essa condição é
.
Passo 4
Então, temos um ponto crítico em
. Agora, precisamos avaliar a função
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores mínimo e máximo.
Vamos calcular
nos seguintes pontos:
Passo 5
Calculando os valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar esses valores para determinar o mínimo e o máximo absolutos no intervalo:
- O menor valor é
em . - O maior valor é
em .
No entanto, o enunciado menciona que o mínimo absoluto ocorre em
com valor
. Parece que houve um pequeno erro na interpretação inicial, já que na verdade . Porém, seguindo os cálculos corretos, os pontos são:
- Mínimo absoluto:
- Máximo absoluto:
Resposta
Mínimo absoluto em
e Máximo absoluto em
.