Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
c)
Resposta: Mínimo absoluto ) e Máximo absoluto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente as derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a identificar pontos onde a função pode atingir seus extremos (ou seja, os valores mais altos e mais baixos dentro do intervalo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos de uma função em um intervalo, precisamos identificar os “pontos críticos”. Esses pontos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. A derivada primeira nos dá a inclinação da função, então onde ela é zero, a função pode estar no topo ou na base de uma “colina” ou “vale”.
Então, vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde :
Sabemos que o cosseno de é zero quando , onde é um inteiro. Dentro do nosso intervalo , o único valor que satisfaz essa condição é .

Passo 4

Então, temos um ponto crítico em . Agora, precisamos avaliar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo para encontrar os valores mínimo e máximo.
Vamos calcular nos seguintes pontos:

Passo 5

Calculando os valores:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 6

Agora, vamos analisar esses valores para determinar o mínimo e o máximo absolutos no intervalo:
  • O menor valor é em .
  • O maior valor é em .
No entanto, o enunciado menciona que o mínimo absoluto ocorre em com valor . Parece que houve um pequeno erro na interpretação inicial, já que na verdade . Porém, seguindo os cálculos corretos, os pontos são:
  • Mínimo absoluto:
  • Máximo absoluto:

Resposta

Mínimo absoluto em e Máximo absoluto em .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)
Mostre que as funções abaixo têm pelo menos uma raiz no intervalo dado.

Resposta: e
Nos exercícios a seguir, determine uma primitiva para cada função.
c)
Resposta: