Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função . Esse exercício pede para encontrar vários aspectos dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, para analisar o comportamento dessa função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais está definida.
Sabemos que a raiz quadrada de , , só é definida para . Portanto, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a derivada primeira de .
Primeiro, reescrevemos para facilitar a derivação:
Agora, derivamos termo a termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo :
Mas lembrando que o domínio é , então o ponto crítico é .

Passo 5

Para identificar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos analisar a derivada segunda de .
Primeiro, derivamos :
Derivando novamente:
Simplificando:

Passo 6

Vamos avaliar no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um ponto de mínimo em .

Passo 7

Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Sabemos que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Analisando a derivada primeira :
  • Para :
    • Então, → função decresce.
  • Para :
    • Então, → função cresce.

Passo 8

Agora, vamos identificar os intervalos de concavidade usando a derivada segunda .
Analisando o sinal de :
  • Para , e , então .
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio e não há intervalos de concavidade para baixo.

Passo 9

Como a concavidade não muda, não existem pontos de inflexão na função .

Passo 10

Vamos verificar se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota vertical: Ocorre quando o denominador da função tende a zero. Nossa função é , que não tem denominador, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal: Analisamos o limite de quando tende ao infinito:
Então, não há assíntotas horizontais.
  • Assíntota oblíqua: Não há, pois a função tende ao infinito de forma mais intensa que uma linha reta.

Passo 11

Por fim, vamos resumir tudo para construir o gráfico:
  • Domínio:
  • Ponto crítico: (mínimo)
  • Intervalos:
    • Decresce em
    • Cresce em
  • Concavidade: Sempre côncava para cima
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Comportamento:
    • Em ,
    • Em , (mínimo)
    • Em ,

Resposta

A função possui:
a) Ponto crítico em .
b) Intervalos de crescimento:
  • Decresce para .
  • Cresce para .
c) Ponto de mínimo em , onde .
d) Intervalos de concavidade: Sempre côncava para cima para .
e) Pontos de inflexão: Não existem.
f) Assíntotas: Não existem.
g) Gráfico: Apresenta um mínimo em , decresce até esse ponto e cresce após, sendo sempre côncava para cima, sem assíntotas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
c)
Resposta: Mínimo absoluto ) e Máximo absoluto