Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função
. Esse exercício pede para encontrar vários aspectos dessa função, como pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, para analisar o comportamento dessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais
está definida.
Sabemos que a raiz quadrada de
,
, só é definida para
. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos calcular a derivada primeira de
.
Primeiro, reescrevemos
para facilitar a derivação:
Agora, derivamos termo a termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Mas lembrando que o domínio é
, então o ponto crítico é
.
Passo 5
Para identificar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos analisar a derivada segunda de
.
Primeiro, derivamos
:
Derivando novamente:
Simplificando:
Passo 6
Vamos avaliar
no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um ponto de mínimo em
.
Passo 7
Vamos agora identificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Sabemos que:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Analisando a derivada primeira
:
-
Para
: -
-
- Então,
→ função decresce.
-
-
Para
: -
-
- Então,
→ função cresce.
-
Passo 8
Agora, vamos identificar os intervalos de concavidade usando a derivada segunda
.
Analisando o sinal de
:
- Para
, e , então .
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o seu domínio
e não há intervalos de concavidade para baixo.
Passo 9
Como a concavidade não muda, não existem pontos de inflexão na função
.
Passo 10
Vamos verificar se existem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntota vertical: Ocorre quando o denominador da função tende a zero. Nossa função é
, que não tem denominador, então não há assíntotas verticais. -
Assíntota horizontal: Analisamos o limite de
quando tende ao infinito:
Então, não há assíntotas horizontais.
- Assíntota oblíqua: Não há, pois a função tende ao infinito de forma mais intensa que uma linha reta.
Passo 11
Por fim, vamos resumir tudo para construir o gráfico:
- Domínio:
- Ponto crítico:
(mínimo) - Intervalos:
- Decresce em
- Cresce em
- Decresce em
- Concavidade: Sempre côncava para cima
- Assíntotas: Nenhuma
- Comportamento:
- Em
, - Em
, (mínimo) - Em
,
- Em
Resposta
A função
possui:
a) Ponto crítico em
.
b) Intervalos de crescimento:
- Decresce para
. - Cresce para
.
c) Ponto de mínimo em
, onde
.
d) Intervalos de concavidade: Sempre côncava para cima para
.
e) Pontos de inflexão: Não existem.
f) Assíntotas: Não existem.
g) Gráfico: Apresenta um mínimo em
, decresce até esse ponto e cresce após, sendo sempre côncava para cima, sem assíntotas.
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(a)
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b)
Resposta: Mínimo absoluto (-1,-1) e Máximo absoluto
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c)
Resposta: Mínimo absoluto ) e Máximo absoluto
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