Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
a)
Resposta: Mínimo absoluto
e Máximo absoluto
a)
Resposta: Mínimo absoluto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de
onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem mínimos ou máximos locais.
Vamos calcular a derivada primeira de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um ponto de mínimo ou máximo. Para isso, vamos usar a derivada segunda da função.
Calculamos a derivada segunda de
:
Como a derivada segunda é positiva (
), isso indica que a função tem um mínimo em
.
Passo 4
Além do ponto crítico interno, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo dado, ou seja, em
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos resumir os valores obtidos:
- No ponto crítico
, (mínimo absoluto). - Na extremidade
, . - Na extremidade
, (máximo absoluto).
Resposta
O valor mínimo absoluto da função é
no ponto
e o valor máximo absoluto é
no ponto
.