Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
a)
Resposta: Mínimo absoluto e Máximo absoluto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de onde a derivada primeira da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem mínimos ou máximos locais.
Vamos calcular a derivada primeira de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um ponto de mínimo ou máximo. Para isso, vamos usar a derivada segunda da função.
Calculamos a derivada segunda de :
Como a derivada segunda é positiva ( ), isso indica que a função tem um mínimo em .

Passo 4

Além do ponto crítico interno, precisamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo dado, ou seja, em e .
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos resumir os valores obtidos:
  • No ponto crítico , (mínimo absoluto).
  • Na extremidade , .
  • Na extremidade , (máximo absoluto).

Resposta

O valor mínimo absoluto da função é no ponto e o valor máximo absoluto é no ponto .

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