Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
c) d^2y/dx^2 = 2 - 6x, y'(0) = 4, y(0) = 1
Resposta: C1 = 4 e C2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial de segunda ordem onde a segunda derivada de em relação a é igual a . Além disso, temos duas condições iniciais: a derivada primeira de quando é 4, e o valor de quando é 1. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a equação que temos é:
Para encontrar , precisamos integrar essa equação duas vezes.

Passo 3

Vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada :
Isso nos dá:
Aqui, é a constante de integração que precisamos encontrar usando a condição .

Passo 4

Aplicando a condição inicial :
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar novamente para encontrar :
Isso resulta em:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição .

Passo 6

Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução completa da equação diferencial é:

Resposta

As constantes são e . A solução da equação diferencial é:

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