Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
e)
Resposta: Mínimo absoluto ( 1,1 ) e Máximo absoluto (4, )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a analisar o comportamento da função e encontrar seus pontos críticos onde podem ocorrer mínimos ou máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa função está bem definida no intervalo dado, vamos igualar a zero para encontrar esses pontos.
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos usar a derivada segunda para determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. A derivada segunda nos indica a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de :
Vamos avaliar em :
Como , a função tem concavidade para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Por fim, para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos no intervalo , vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculamos em , e :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

O valor mínimo absoluto da função ocorre em com , e o valor máximo absoluto ocorre em com .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
a)
Resposta: Mínimo absoluto e Máximo absoluto
Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
c)
Resposta: e
Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm ?
Resposta: 25/4
Identifique os pontos de inflexão e os mínimos e os máximos locais das funções representadas graficamente abaixo. Identifique os intervalos em que as funções são côncavas para cima e para baixo.
b)
Resposta: Mínimo , máximo , inflexão e