Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
e)
Resposta: Mínimo absoluto ( 1,1 ) e Máximo absoluto (4,
)
e)
Resposta: Mínimo absoluto ( 1,1 ) e Máximo absoluto (4,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a analisar o comportamento da função e encontrar seus pontos críticos onde podem ocorrer mínimos ou máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa função está bem definida no intervalo dado, vamos igualar
a zero para encontrar esses pontos.
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos usar a derivada segunda para determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou um máximo. A derivada segunda nos indica a concavidade da função.
Primeiro, encontramos a derivada segunda de
:
Vamos avaliar
em
:
Como
, a função tem concavidade para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 5
Por fim, para encontrar os valores mínimo e máximo absolutos no intervalo
, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Calculamos
em
,
e
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
O valor mínimo absoluto da função ocorre em
com
, e o valor máximo absoluto ocorre em
com
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado a primeira e a segunda derivadas.
a)
Resposta: Mínimo absoluto e Máximo absoluto
a)
Resposta: Mínimo absoluto
Resolva os problemas de valor inicial nos próximos exercícios.
c)
Resposta: e
c)
Resposta:
Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm ?
Resposta: 25/4
Resposta: 25/4
Identifique os pontos de inflexão e os mínimos e os máximos locais das funções representadas graficamente abaixo. Identifique os intervalos em que as funções são côncavas para cima e para baixo.
b)
Resposta: Mínimo , máximo
, inflexão
e
b)
Resposta: Mínimo