Identifique os pontos de inflexão e os mínimos e os máximos locais das funções representadas graficamente abaixo. Identifique os intervalos em que as funções são côncavas para cima e para baixo.
b) y = x + sen(2 x), -2 pi/3 <= x <= 2 pi/3
Resposta: Mínimo x = -pi / 3, máximo x = pi / 3, inflexão x = -pi/2, x = 0 e x = pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão, os mínimos e os máximos locais da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para achar os extremos (mínimos e máximos) e a segunda para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para localizar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde podem estar os máximos e mínimos. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero para encontrar os candidatos a máximos e mínimos:
Resolvendo para :
Dentro do intervalo dado, os valores são e .

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, achamos a segunda derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos encontrados:
  • Em :
Isso indica que é um mínimo local.
  • Em :
Isso indica que é um máximo local.

Passo 6

Para encontrar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade, vamos analisar onde a segunda derivada muda de sinal.
Resolvendo :
Dentro do intervalo, os pontos são .

Passo 7

Vamos determinar a concavidade em cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Mínimo em , máximo em , pontos de inflexão em , e . A função é concava para cima nos intervalos e , e concava para baixo entre e .

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