Identifique os pontos de inflexão e os mínimos e os máximos locais das funções representadas graficamente abaixo. Identifique os intervalos em que as funções são côncavas para cima e para baixo.
b)
Resposta: Mínimo
, máximo
, inflexão
e
b)
Resposta: Mínimo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! A gente precisa encontrar os pontos de inflexão, os mínimos e os máximos locais da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para achar os extremos (mínimos e máximos) e a segunda para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para localizar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, onde podem estar os máximos e mínimos. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar onde essa derivada é igual a zero para encontrar os candidatos a máximos e mínimos:
Resolvendo para
:
Dentro do intervalo dado, os valores são
e
.
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, achamos a segunda derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos encontrados:
- Em
:
Isso indica que é um mínimo local.
- Em
:
Isso indica que é um máximo local.
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade, vamos analisar onde a segunda derivada muda de sinal.
Resolvendo
:
Dentro do intervalo, os pontos são
.
Passo 7
Vamos determinar a concavidade em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Mínimo em
, máximo em
, pontos de inflexão em
,
e
. A função é concava para cima nos intervalos
e
, e concava para baixo entre
e
.
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e)
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b)
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a)
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