Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando derivação implícita. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivação de funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
e
podem depender de
, então precisamos aplicar a regra da cadeia sempre que houver
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o primeiro termo:
.
A derivada de em relação a
é:
A derivada de
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar
em relação a
:
A gente aplicou a regra da cadeia aqui.
Passo 5
Na parte direita da equação, temos
. A derivada disso em relação a
é:
Mais uma vez, usamos a regra do produto.
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
Passo 7
Vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 8
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 9
Finalmente, isolando
:
Resposta
A derivada
é:
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A leitura da escala Richter,
, utilizada para medir a magnitude de um terremoto com intensidade
é determinada por
onde
é um limiar mínimo padrão de intensidade. Se
, qual é a taxa de variação da leitura da escala Richter em relação à intensidade?
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(l)
(l)
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(d)
(d)
Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(b)
(b)