A leitura da escala Richter, , utilizada para medir a magnitude de um terremoto com intensidade é determinada por onde é um limiar mínimo padrão de intensidade. Se , qual é a taxa de variação da leitura da escala Richter em relação à intensidade?

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir como a leitura da escala Richter ( ) muda quando a intensidade do terremoto ( ) muda. A fórmula que relaciona e é:
Aqui, é o logaritmo natural, e é um valor mínimo padrão de intensidade. Vamos precisar usar cálculo, mais especificamente derivadas, pra achar essa taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, a gente substitui por 1 na fórmula, como diz o problema:
Agora, a fórmula ficou mais simples: é igual a dividido por .

Passo 3

Queremos achar a taxa de variação de em relação a , ou seja, a derivada de em relação a , que escrevemos como . Vamos derivar a função:
Como é uma constante, podemos tirar ele da derivada:

Passo 4

Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, substituindo isso na equação:

Resposta

A taxa de variação da leitura da escala Richter em relação à intensidade é .

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