Nos exercícios abaixo, encontre dy/dt por derivação implícita.
(d) y = cos(x - y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada usando derivação implícita para a equação . Isso está dentro do tema de cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia durante a diferenciação.

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a :
Aqui, usamos a operação de derivação em ambos os lados para manter a igualdade.

Passo 3

A derivada de em relação a é simplesmente :
Até agora, está direto.

Passo 4

Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , multiplicada pela derivada de em relação a . Aqui, :

Passo 5

Vamos derivar em relação a . Supondo que também depende de , temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 6

Substituindo de volta na equação anterior:
Isso nos dá a expressão da derivada do lado direito.

Passo 7

Voltando à equação original derivada:
Queremos isolar .

Passo 8

Vamos distribuir :
Isso facilita a reorganização dos termos.

Passo 9

Vamos trazer todos os termos com para um lado da equação:
Assim, podemos fatorar .

Passo 10

Fatorando :

Passo 11

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar o sinal negativo:

Resposta

A derivada é:

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