Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada
usando derivação implícita para a equação
. Isso está dentro do tema de cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções implícitas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia durante a diferenciação.
Passo 2
Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Aqui, usamos a operação de derivação em ambos os lados para manter a igualdade.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Até agora, está direto.
Passo 4
Agora, vamos derivar
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, multiplicada pela derivada de
em relação a
. Aqui,
:
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. Supondo que
também depende de
, temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 6
Substituindo de volta na equação anterior:
Isso nos dá a expressão da derivada do lado direito.
Passo 7
Voltando à equação original derivada:
Queremos isolar
.
Passo 8
Vamos distribuir
:
Isso facilita a reorganização dos termos.
Passo 9
Vamos trazer todos os termos com
para um lado da equação:
Assim, podemos fatorar
.
Passo 10
Fatorando
:
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar o sinal negativo:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
©
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Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(e)
(e)
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(f) .
(f)
Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é , o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é