Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar
usando derivação implícita. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como lidar com funções que dependem de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, assim como
também pode ser uma função de
. Então, aplicamos a derivada em cada termo:
A derivada de 0 em relação a
é 0, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar o termo
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Então:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Aplicamos a derivada termo a termo:
Portanto:
Passo 5
Voltando à expressão anterior, substituímos:
Passo 6
Agora, substituímos essa derivada de volta na equação original:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos que contêm
:
Passo 9
Isolamos
:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(d)
(d)
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
©
©
Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é , o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é
Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a)
(a)