Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar usando derivação implícita. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como lidar com funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , assim como também pode ser uma função de . Então, aplicamos a derivada em cada termo:
A derivada de 0 em relação a é 0, então:

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é , onde .
Então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a . Aplicamos a derivada termo a termo:
Portanto:

Passo 5

Voltando à expressão anterior, substituímos:

Passo 6

Agora, substituímos essa derivada de volta na equação original:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora, agrupamos os termos que contêm :

Passo 9

Isolamos :

Resposta

A derivada é dada por:

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
(d)
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
©
Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é , o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a)