Nos exercícios abaixo, encontre dy/dt por derivação implícita.
(f) y + ln(x^2 + y^2) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar usando derivação implícita. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e como lidar com funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a t. Lembre-se que y é uma função de t, assim como x também pode ser uma função de t. Então, aplicamos a derivada em cada termo:
A derivada de 0 em relação a t é 0, então:

Passo 3

Agora, vamos derivar o termo . Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a t é , onde .
Então:

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a t. Aplicamos a derivada termo a termo:
Portanto:

Passo 5

Voltando à expressão anterior, substituímos:

Passo 6

Agora, substituímos essa derivada de volta na equação original:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora, agrupamos os termos que contêm :

Passo 9

Isolamos :

Resposta

A derivada é dada por:

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