Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação do plano tangente no ponto dado para a função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e seus planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um plano tangente. Para uma função
, o plano tangente no ponto
é a melhor aproximação linear da função perto desse ponto. A equação desse plano é dada por:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos usar a fórmula do plano tangente. Supondo que o ponto dado seja
, onde
, a equação do plano tangente fica:
Resposta
Então, a equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
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Se possível, resolver as seguintes EDO(e)
Se possível, resolver as seguintes EDO(f)
Use a aproximação linear de
em
para estimar
. Compare com o valor obtido usando uma calculadora.
Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(f)
(f)