Se possível, resolver as seguintes EDO(e)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a EDO é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Uma EDO da forma é exata se . Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculemos :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, calculemos :
Derivando em relação a :

Passo 5

Comparando as derivadas parciais:
Como , a EDO é exata.

Passo 6

Como a EDO é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Onde é uma função de que será determinada.

Passo 7

Vamos integrar cada termo de :
Somando tudo:

Passo 8

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim:

Passo 9

Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Se possível, resolver as seguintes EDO(f)
Encontre a linearização de em .
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Use a aproximação linear de em para estimar . Compare com o valor obtido usando uma calculadora.