Se possível, resolver as seguintes EDO(e)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) na forma:
O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a EDO é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
Uma EDO da forma
é exata se
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculemos
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, calculemos
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Comparando as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata.
Passo 6
Como a EDO é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
que será determinada.
Passo 7
Vamos integrar cada termo de
:
Somando tudo:
Passo 8
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim:
Passo 9
Portanto, a função
é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Se possível, resolver as seguintes EDO(f)
Encontre a linearização de
em
.
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,
Use a aproximação linear de
em
para estimar
. Compare com o valor obtido usando uma calculadora.