Se possível, resolver as seguintes EDO(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo exata. A equação é:
Para resolver, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como
, podemos escrever a solução geral da EDO.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Encontre a linearização de
em
.
Resolva a equação exata
Se possível, resolver as seguintes EDO(e)
Nos exercícios abaixo, encontre a equação do plano tangente no ponto dado.
,