A função
em
, definida por
, admite função inversa?
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão é sobre a função
e se ela tem uma função inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções inversas e analisar o comportamento dessa função usando propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ter uma inversa. Uma função inversa existe se a função original for injetora, ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. Para verificar isso, precisamos ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Como ela é composta por duas funções de valor absoluto, o comportamento dela muda dependendo do valor de
. Vamos dividir essa análise em intervalos onde a expressão dentro dos valores absolutos muda de sinal.
Passo 4
Intervalo 1:
- Aqui,
é negativo, então . - E
também é negativo, então .
Portanto,
. Isso é uma funç��o decrescente nesse intervalo.
Passo 5
Intervalo 2:
- Aqui,
é positivo ou zero, então . - Mas
ainda é negativo, então .
Assim,
. Nesse intervalo, a função é constante.
Passo 6
Intervalo 3:
- Tanto
quanto são positivos, então e .
Portanto,
. Nesse caso, a função é crescente.
Passo 7
Agora, vamos resumir o comportamento da função:
- Decrescente para
. - Constante para
. - Crescente para
.
Passo 8
Para a função ter uma inversa, ela precisa ser sempre crescente ou sempre decrescente, sem trechos constantes. No nosso caso, a função é decrescente, depois constante, e depois crescente. Isso significa que ela não é injetora no seu domínio todo, ou seja, não passa no teste da linha horizontal.
Resposta
Não, a função
não admite função inversa porque não é injetora em todo o seu domínio.