A função f em R, definida por f(x) = |x + 2| + |x - 1|, admite função inversa?

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão é sobre a função e se ela tem uma função inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções inversas e analisar o comportamento dessa função usando propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ter uma inversa. Uma função inversa existe se a função original for injetora, ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. Para verificar isso, precisamos ver se a função é sempre crescente ou sempre decrescente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Como ela é composta por duas funções de valor absoluto, o comportamento dela muda dependendo do valor de . Vamos dividir essa análise em intervalos onde a expressão dentro dos valores absolutos muda de sinal.

Passo 4

Intervalo 1:
  • Aqui, é negativo, então .
  • E também é negativo, então .
Portanto, . Isso é uma funç��o decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2:
  • Aqui, é positivo ou zero, então .
  • Mas ainda é negativo, então .
Assim, . Nesse intervalo, a função é constante.

Passo 6

Intervalo 3:
  • Tanto quanto são positivos, então e .
Portanto, . Nesse caso, a função é crescente.

Passo 7

Agora, vamos resumir o comportamento da função:
  • Decrescente para .
  • Constante para .
  • Crescente para .

Passo 8

Para a função ter uma inversa, ela precisa ser sempre crescente ou sempre decrescente, sem trechos constantes. No nosso caso, a função é decrescente, depois constante, e depois crescente. Isso significa que ela não é injetora no seu domínio todo, ou seja, não passa no teste da linha horizontal.

Resposta

Não, a função não admite função inversa porque não é injetora em todo o seu domínio.

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