Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série (a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela converge. Já converge condicionalmente se a série original converge, mas a dos valores absolutos não.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Sabemos que , então:
Assim, a série fica:
Essas são séries geométricas conhecidas, que convergem se a razão da progressão geométrica for menor que 1, o que é verdade aqui.
Passo 4
Como ambas as séries geométricas e convergem, concluímos que a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.
Passo 5
Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série.
Resposta
(a) A série converge absolutamente.
(b) Como converge absolutamente, não há necessidade de convergência condicional.