Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k senh k3 e^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série (a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e condicional. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela converge. Já converge condicionalmente se a série original converge, mas a dos valores absolutos não.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | (-1)^k sinh k3 e^2 k | = sumk=1^infty sinh k3 e^2 k
Sabemos que sinh k3 e^2 k = e^k - e^-k6 e^2 k = 16 ( e^-k - e^-3k ) , então:
sumk=1^infty 16 ( e^-k - e^-3k ) = 16 ( sumk=1^infty e^-k - sumk=1^infty e^-3k )
Assim, a série fica:
Essas são séries geométricas conhecidas, que convergem se a razão da progressão geométrica for menor que 1, o que é verdade aqui.

Passo 4

Como ambas as séries geométricas e convergem, concluímos que a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série.

Resposta

(a) A série converge absolutamente.
(b) Como converge absolutamente, não há necessidade de convergência condicional.

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