Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série (a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou convergir condicionalmente.
Convergência absoluta: A série converge. Se isso acontece, a série original também converge.
Convergência condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Sabemos que aproxima-se de quando tende ao infinito. Então, para valores grandes de , temos:
Assim, a série dos valores absolutos se comporta como:
Passo 5
A série é conhecida como uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Portanto, como , a série diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original .
Para isso, usaremos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
é decrescente: .
.
Aqui, .
Passo 8
Vamos verificar as condições:
Decrescimento: cresce até , mas cresce mais rápido. Portanto, é decrescente.