Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k arctg kraizk

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série (a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou convergir condicionalmente.
  • Convergência absoluta: A série converge. Se isso acontece, a série original também converge.
  • Convergência condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | (-1)^k arctg kraizk | = sumk=1^infty arctg kraizk

Passo 4

Sabemos que arctg k approx pi2 aproxima-se de sumk=1^infty pi/2raizk = pi2 sumk=1^infty 1raizk quando tende ao infinito. Então, para valores grandes de , temos:
Assim, a série dos valores absolutos se comporta como:

Passo 5

A série é conhecida como uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Portanto, como , a série diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original .
Para isso, usaremos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
  1. é decrescente: .
  2. .
Aqui, .

Passo 8

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento: cresce até , mas cresce mais rápido. Portanto, é decrescente.
  2. Limite: .
Ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente.

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