Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla. integral0^8 integralx^1 / 3^2 1y^4+1 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla . Nosso objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular essa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como mudança de ordem de integração e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está em termos de e , com indo de 0 a 8 e indo de a 2. Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 8, varia de até 2.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração em termos de primeiro e depois . Observamos que varia de 0 a 2. Para cada , vai de 0 até (porque se , então ).

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral dupla fica assim:
integral0^2 integral0^y^3 1y^4+1 , dx , dy
Perceba que agora é a variável interna e vai de 0 a , enquanto varia de 0 a 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^y^3 1y^4+1 , dx = 1y^4+1 integral0^y^3 dx = y^3y^4+1 :
integral0^2 y^3y^4+1 , dy
Isso simplifica a integral dupla para uma integral simples em termos de :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Podemos fazer uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral y^3y^4+1 , dy = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C = 14 ln(y^4+1) + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
[ 14 ln(y^4+1) ]0^2 = 14 ln(2^4+1) - 14 ln(0^4+1) = 14 ln(17) - 14 ln(1)
Como 14 ln(17) , a expressão final fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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