Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla
. Nosso objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular essa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como mudança de ordem de integração e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está em termos de
e
, com
indo de 0 a 8 e
indo de
a 2. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 8,
varia de
até 2.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração em termos de
primeiro e depois
. Observamos que
varia de 0 a 2. Para cada
,
vai de 0 até
(porque se
, então
).
Passo 4
Com a ordem invertida, a integral dupla fica assim:
Perceba que agora
é a variável interna e vai de 0 a
, enquanto
varia de 0 a 2.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Isso simplifica a integral dupla para uma integral simples em termos de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Podemos fazer uma substituição simples:
Seja , então
, ou seja,
.
Seja
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Como
, a expressão final fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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(b)
(b)
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(d)
(d)
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
©
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Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.