Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla . Nosso objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular essa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como mudança de ordem de integração e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está em termos de e , com indo de 0 a 8 e indo de a 2. Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 8, varia de até 2.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração em termos de primeiro e depois . Observamos que varia de 0 a 2. Para cada , vai de 0 até (porque se , então ).

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral dupla fica assim:
Perceba que agora é a variável interna e vai de 0 a , enquanto varia de 0 a 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Isso simplifica a integral dupla para uma integral simples em termos de :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Podemos fazer uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de 0 a 2:
Como , a expressão final fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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