Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma integral dupla:
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a troca da ordem de integração. Para resolver isso, a gente precisa entender a região de integração e então inverter a ordem dos integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano . Os limites externos são indo de 0 a 3, e para cada , vai de até 1. Mas parece que houve uma confusão nos limites. Vamos reescrever a integral corretamente:
Agora, os limites são de 0 a 3, e para cada , vai de a 1.

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração para visualizar melhor. Temos:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de a 1.
A função é a mesma que . Então, a região está limitada por , , , e .

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar em termos de :
  • varia de 0 a 1 (já que é o limite superior).
  • Para cada , vai de até .
Então, a integral invertida fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Essa simplificação acontece porque é constante em relação a .

Passo 6

Agora, a integral reduz para:
Podemos fatorar o 3 para simplificar.

Passo 7

Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral:
Seja , então . Mas precisamos ajustar para a nossa expressão :
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que a derivada de é . Então, reescrevendo:
A segunda integral podemos resolver por substituição.

Passo 8

Resolvendo a segunda integral:
Fazemos , então ou . Então:

Passo 9

Voltando à integral original:
Infelizmente, não tem uma antiderivada elementar, mas podemos avaliar a expressão já que a parte que depende de cancela:
ã
Porém, para fins de cálculo, a resposta final simplificada fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
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Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Determine a derivada:
Determine a derivada: ;