Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos uma integral dupla:
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a troca da ordem de integração. Para resolver isso, a gente precisa entender a região de integração e então inverter a ordem dos integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano
. Os limites externos são
indo de 0 a 3, e para cada
,
vai de
até 1. Mas parece que houve uma confusão nos limites. Vamos reescrever a integral corretamente:
Agora, os limites são
de 0 a 3, e para cada
,
vai de
a 1.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração para visualizar melhor. Temos:
-
varia de 0 a 3. - Para cada
, varia de a 1.
A função
é a mesma que
. Então, a região está limitada por
,
,
, e
.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
:
-
varia de 0 a 1 (já que é o limite superior). - Para cada
, vai de até .
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral invertida passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Essa simplificação acontece porque
é constante em relação a
.
Passo 6
Agora, a integral reduz para:
Podemos fatorar o 3 para simplificar.
Passo 7
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral:
Seja
, então
. Mas precisamos ajustar para a nossa expressão
:
Essa integral pode ser resolvida reconhecendo que a derivada de
é
. Então, reescrevendo:
A segunda integral podemos resolver por substituição.
Passo 8
Resolvendo a segunda integral:
Fazemos
, então
ou
. Então:
Passo 9
Voltando à integral original:
Infelizmente,
não tem uma antiderivada elementar, mas podemos avaliar a expressão já que a parte que depende de
cancela:
Porém, para fins de cálculo, a resposta final simplificada fica:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
©
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Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Determine a derivada:
Determine a derivada:
;