Seja
onde a região
de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla
sobre uma região
que está no primeiro quadrante. Essa região fica acima da parábola
e abaixo da parábola
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas parábolas se encontram para definir os limites da nossa integração. Vamos desenhar a região
e depois escrever a integral dupla como uma integral iterada nas duas possíveis ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas para saber até onde vão nossos limites de integração. Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações substituindo
da primeira na segunda:
Rearranjando:
Essa equação pode ser resolvida por tentativas. Testando
:
Então,
é uma solução. Encontrando
correspondente:
Portanto, as parábolas se intersectam em
. Como estamos no primeiro quadrante, esse é o único ponto de interseção relevante.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região
. A parábola
é uma parábola aberta para a direita, e
é uma parábola aberta para baixo. No primeiro quadrante,
está acima de
e abaixo de
. O ponto de interseção é
.
Passo 4
Com a região
definida, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada nas duas ordens possíveis:
Ordem
:
Primeiro, fixamos um valor de e vemos os limites para
. Para um
entre 0 e 1:
Primeiro, fixamos um valor de
Então, a integral iterada fica:
Ordem
:
Agora, fixamos um valor de e vemos os limites para
. Para um
entre 0 e 1:
Agora, fixamos um valor de
Então, a integral iterada fica:
Resposta
As duas formas de escrever a integral dupla como integral iterada são:
e