Seja integral dupla f(x, y) d x d y onde a região R de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação y^2=x e abaixo da parábola de equação y=2-x^2. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a integral dupla integral dupla f(x, y) , dx , dy sobre uma região R que está no primeiro quadrante. Essa região fica acima da parábola y^2 = x e abaixo da parábola y = 2 - x^2. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas parábolas se encontram para definir os limites da nossa integração. Vamos desenhar a região R e depois escrever a integral dupla como uma integral iterada nas duas possíveis ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas parábolas para saber até onde vão nossos limites de integração. Temos as equações:
y^2 = x e y = 2 - x^2
Vamos resolver esse sistema de equações substituindo x da primeira na segunda:
y = 2 - (y^2)^2 = 2 - y^4
Rearranjando:
y^4 + y - 2 = 0
Essa equação pode ser resolvida por tentativas. Testando y=1:
1 + 1 - 2 = 0
Então, y = 1 é uma solução. Encontrando x correspondente:
x = y^2 = 1^2 = 1
Portanto, as parábolas se intersectam em (1, 1). Como estamos no primeiro quadrante, esse é o único ponto de interseção relevante.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região R. A parábola y^2 = x é uma parábola aberta para a direita, e y = 2 - x^2 é uma parábola aberta para baixo. No primeiro quadrante, R está acima de y^2 = x e abaixo de y = 2 - x^2. O ponto de interseção é (1, 1).

Passo 4

Com a região R definida, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada nas duas ordens possíveis:
Ordem dy , dx:
Primeiro, fixamos um valor de x e vemos os limites para y. Para um x entre 0 e 1:
y varia de raizx (da parábola y^2 = x) até 2 - x^2 (da parábola y = 2 - x^2) áéá
Então, a integral iterada fica:
integral0^1 integralraizx^2 - x^2 f(x, y) , dy , dx
Ordem dx , dy:
Agora, fixamos um valor de y e vemos os limites para x. Para um y entre 0 e 1:
x varia de y^2 (da parábola y^2 = x) até raiz2 - y (resolvendo y = 2 - x^2 para x) áé
Então, a integral iterada fica:
integral0^1 integraly^2^raiz2 - y f(x, y) , dx , dy

Resposta

As duas formas de escrever a integral dupla como integral iterada são:
integral0^1 integralraizx^2 - x^2 f(x, y) , dy , dx
e
integral0^1 integraly^2^raiz2 - y f(x, y) , dx , dy

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