Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: ou ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(c)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual das derivadas mistas de segunda ordem, ou , dá pra calcular mais facilmente para a função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais — basicamente, derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante. Vamos precisar lembrar como fazer derivadas parciais e como aplicar a ordem das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as derivadas mistas e . A derivada significa que a gente primeiro deriva em relação a e depois em relação a . Já é o contrário: primeiro em e depois em . A gente quer saber qual dessas duas operações é mais rápida de fazer.
Passo 3
Vamos calcular primeiro. Começamos derivando em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular . Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Resposta
As duas derivadas mistas e resultam no mesmo valor, . Portanto, não há diferença de rapidez na hora de calcular uma ou outra para essa função específica.
Exercícios relacionados
Use derivação implícita para encontrar e .
(a)
Determine os valores de e sabendo que a função passa pelos pontos e .
Calcule um valor aproximado para .
Em cada parte, ache a fórmula para o termo geral da sequência, comesando com .