Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: ou ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas. (c)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual das derivadas mistas de segunda ordem, ou , dá pra calcular mais facilmente para a função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais — basicamente, derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante. Vamos precisar lembrar como fazer derivadas parciais e como aplicar a ordem das derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as derivadas mistas e . A derivada significa que a gente primeiro deriva em relação a e depois em relação a . Já é o contrário: primeiro em e depois em . A gente quer saber qual dessas duas operações é mais rápida de fazer.

Passo 3

Vamos calcular primeiro. Começamos derivando em relação a : Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Primeiro, derivamos em relação a : Depois, derivamos em relação a :

Resposta

As duas derivadas mistas e resultam no mesmo valor, . Portanto, não há diferença de rapidez na hora de calcular uma ou outra para essa função específica.

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