Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
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Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual das derivadas mistas de segunda ordem,
ou
, dá pra calcular mais facilmente para a função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais — basicamente, derivar em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante. Vamos precisar lembrar como fazer derivadas parciais e como aplicar a ordem das derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as derivadas mistas
e
. A derivada
significa que a gente primeiro deriva em relação a
e depois em relação a
. Já
é o contrário: primeiro em
e depois em
. A gente quer saber qual dessas duas operações é mais rápida de fazer.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Começamos derivando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Resposta
As duas derivadas mistas
e
resultam no mesmo valor,
. Portanto, não há diferença de rapidez na hora de calcular uma ou outra para essa função específica.