Use derivação implícita para encontrar e .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando derivação implícita. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais e funções implícitas. Para resolver, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação às variáveis e e aí isolar e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos em relação a , temos que multiplicar pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Derivando em relação a :
Isso fica:
Explicando: a derivada de em relação a é 1, e usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Vamos isolar . Primeiro, colocamos todos os termos com de um lado:
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a . Novamente, lembrando que é função de , aplicamos a regra da cadeia.

Passo 6

Derivando em relação a :
Isso fica:
Aqui, a derivada de em relação a é zero, e aplicamos a regra do produto dentro da exponencial.

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, reescrevemos:
Colocamos todos os termos com de um lado:
Fatorando :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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