Use derivação implícita para encontrar partial z / partial x e partial z / partial y.
(a) x-z=e^y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando derivação implícita. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais e funções implícitas. Para resolver, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação às variáveis e e aí isolar e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então quando derivamos em relação a , temos que multiplicar pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Derivando em relação a partialpartial x(x) - partialpartial x(z) = partialpartial x(e^y z) :
1 - partial zpartial x = e^y z cdot y cdot partial zpartial x
Isso fica:
Explicando: a derivada de em relação a é 1, e usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Vamos isolar 1 = partial zpartial x + e^y z cdot y cdot partial zpartial x . Primeiro, colocamos todos os termos com 1 = partial zpartial x (1 + y e^y z) de um lado:
partial zpartial x = 11 + y e^y z
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a . Novamente, lembrando que é função de , aplicamos a regra da cadeia.

Passo 6

Derivando em relação a partialpartial y(x) - partialpartial y(z) = partialpartial y(e^y z) :
0 - partial zpartial y = e^y z cdot (z + y cdot partial zpartial y)
Isso fica:
Aqui, a derivada de em relação a é zero, e aplicamos a regra do produto dentro da exponencial.

Passo 7

Vamos isolar - partial zpartial y = z e^y z + y e^y z partial zpartial y . Primeiro, reescrevemos:
- partial zpartial y - y e^y z partial zpartial y = z e^y z
Colocamos todos os termos com partial zpartial y (-1 - y e^y z) = z e^y z de um lado:
partial zpartial y = -z e^y z1 + y e^y z
Fatorando :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 11 + y e^y z
e
partial zpartial y = -z e^y z1 + y e^y z

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