Use derivação implícita para encontrar
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando derivação implícita. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais e funções implícitas. Para resolver, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação às variáveis
e
e aí isolar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então quando derivamos
em relação a
, temos que multiplicar pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Derivando em relação a
:
Isso fica:
Explicando: a derivada de
em relação a
é 1, e usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 4
Vamos isolar
. Primeiro, colocamos todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora, vamos derivar a mesma equação
em relação a
. Novamente, lembrando que
é função de
, aplicamos a regra da cadeia.
Passo 6
Derivando em relação a
:
Isso fica:
Aqui, a derivada de
em relação a
é zero, e aplicamos a regra do produto dentro da exponencial.
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, reescrevemos:
Colocamos todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine os valores de
e
sabendo que a função
passa pelos pontos
e
.
Responda as perguntas abaixo, justificando suas respostas. A função cos é contínua? (Você pode usar aqui a continuidade da função sen para justificar a sua resposta.)
Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
©
©
Calcule um valor aproximado para
.