Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma série infinita definida por:
sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2
Nosso objetivo é verificar:
(a) Se essa série converge absolutamente.
(b) Se ela converge condicionalmente.
Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Razão para determinar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar se a série formada pelos valores absolutos dos termos originais converge. Ou seja, vamos estudar:
sumk=1^infty | (-1)^k k^32^k+2 | = sumk=1^infty k^32^k+2
Para determinar a convergência dessa série, aplicaremos o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak+1ak = (k+1)^32^(k+1)+2k^32^k+2 = (k+1)^32^k+3 times 2^k+2k^3 = (k+1)^32 cdot k^3 . Vamos calcular:
L = limk to infty (k+1)^32 cdot k^3 = 12 limk to infty (1 + 1k)^3 = 12 times 1 = 12
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então a série converge absolutamente.

Resposta

(a) Sim, a série converge absolutamente.
(b) Não, a série não converge condicionalmente.

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