Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Isso está dentro da matéria de análise de séries, especificamente sobre convergência de séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da nossa série. Pegamos os valores absolutos dos termos:
Simplificando o denominador:
Então a série fica:

Passo 4

Para determinar se converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta, e comparando com a série , que diverge (pois é uma série harmônica divergente), concluímos que nossa série também diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série original converge.

Passo 6

Vamos verificar se é decrescente e se tende a zero:
  1. Decrescente: À medida que aumenta, o numerador cresce mais rápido que o denominador , então não é decrescente.
  2. Limite: Calculando o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não confirma a convergência.

Resposta

A série não converge absolutamente nem condicionalmente.

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Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se