Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Isso está dentro da matéria de análise de séries, especificamente sobre convergência de séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, e usar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da nossa série. Pegamos os valores absolutos dos termos:
Simplificando o denominador:
Então a série fica:
Passo 4
Para determinar se converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta, e comparando com a série , que diverge (pois é uma série harmônica divergente), concluímos que nossa série também diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série original converge.
Passo 6
Vamos verificar se é decrescente e se tende a zero:
Decrescente: À medida que aumenta, o numerador cresce mais rápido que o denominador , então não é decrescente.
Limite: Calculando o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada não confirma a convergência.
Resposta
A série não converge absolutamente nem condicionalmente.