Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
E queremos saber se ela converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, analisamos:

Passo 3

Para verificar se essa série converge, vamos simplificar a fração:
Quando tende ao infinito, os termos e se aproximam de zero, então a fração se aproxima de .

Passo 4

Isso significa que:
Como o limite não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é uma sequência decrescente,
  3. ,
então a série alternada converge.

Passo 7

Verificamos os critérios:
  1. para todo .
  2. Para ver se é decrescente, observamos que o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui conforme aumenta.
  3. Calculamos o limite:

Passo 8

Como o limite dos termos não é zero ( ), o Teste da Série Alternada não confirma a convergência. Na verdade, para que a série alternada convirja, é necessário que .

Passo 9

Portanto, a série original não converge absolutamente nem converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem converge condicionalmente.

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