Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
E queremos saber se ela converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, analisamos:
Passo 3
Para verificar se essa série converge, vamos simplificar a fração:
Quando tende ao infinito, os termos e se aproximam de zero, então a fração se aproxima de .
Passo 4
Isso significa que:
Como o limite não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que se:
Os termos são positivos,
é uma sequência decrescente,
,
então a série alternada converge.
Passo 7
Verificamos os critérios:
para todo .
Para ver se é decrescente, observamos que o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui conforme aumenta.
Calculamos o limite:
Passo 8
Como o limite dos termos não é zero (), o Teste da Série Alternada não confirma a convergência. Na verdade, para que a série alternada convirja, é necessário que .
Passo 9
Portanto, a série original não converge absolutamente nem converge condicionalmente.
Resposta
A série não converge absolutamente nem converge condicionalmente.