Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (2 k+1)(-1)^k6 k+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=1^infty (2k + 1)(-1)^k6k + 2
E queremos saber se ela converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Isso significa que analisamos a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, analisamos:
sumk=1^infty | (2k + 1)(-1)^k6k + 2 | = sumk=1^infty 2k + 16k + 2

Passo 3

Para verificar se essa série converge, vamos simplificar a fração:
2k + 16k + 2 = 2k(1 + 12k)6k(1 + 13k) = 26 cdot 1 + 12k1 + 13k = 13 cdot 1 + 12k1 + 13k
Quando tende ao infinito, os termos e se aproximam de zero, então a fração se aproxima de .

Passo 4

Isso significa que:
limk to infty 2k + 16k + 2 = 13
Como o limite não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

O Teste da Série Alternada diz que se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é uma sequência decrescente,
  3. ,
então a série alternada converge.

Passo 7

Verificamos os critérios:
  1. limk to infty 2k + 16k + 2 = 26 = 13 neq 0 para todo .
  2. Para ver se é decrescente, observamos que o denominador cresce mais rápido que o numerador, então diminui conforme aumenta.
  3. Calculamos o limite:

Passo 8

Como o limite dos termos não é zero ( ), o Teste da Série Alternada não confirma a convergência. Na verdade, para que a série alternada convirja, é necessário que .

Passo 9

Portanto, a série original não converge absolutamente nem converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem converge condicionalmente.

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