Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k1+k^2

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo sumk=1^infty (-1)^k1+k^2. A tarefa é descobrir se essa série:
(a) converge absolutamente;
(b) converge condicionalmente.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, especialmente sobre convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série sum ak converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |ak| também converge. Isso é útil porque se uma série converge absolutamente, ela automaticamente converge de forma condicional.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Vamos calcular a série dos valores absolutos:
sumk=1^infty | (-1)^k1+k^2 | = sumk=1^infty 11+k^2

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série sumk=1^infty 11+k^2 converge. Isso parece com uma série p, onde a série sum 1k^p converge se p > 1.

Passo 5

No nosso caso, o denominador é 1 + k^2, que é semelhante a k^2. Então, podemos dizer que p = 2, que é maior que 1. Portanto, pela comparação com uma série p que converge, nossa série dos valores absolutos também converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos sumk=1^infty 11+k^2 converge, concluímos que a série original sumk=1^infty (-1)^k1+k^2 converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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