Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . A tarefa é descobrir se essa série:
(a) converge absolutamente;
(b) converge condicionalmente.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, especialmente sobre convergência absoluta e convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é útil porque se uma série converge absolutamente, ela automaticamente converge de forma condicional.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Vamos calcular a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série converge. Isso parece com uma série p, onde a série converge se .
Passo 5
No nosso caso, o denominador é , que é semelhante a . Então, podemos dizer que , que é maior que 1. Portanto, pela comparação com uma série p que converge, nossa série dos valores absolutos também converge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente.