Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado e olha só para os valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty | (-1)^k+1 2^kk^3 3^k+2 | = sumk=1^infty 2^kk^3 3^k+2
Simplificando um pouco, podemos reescrever 2^kk^3 3^k+2 = 2^k9 cdot k^3 cdot 3^k = 19 cdot k^3 ( 23 )^k como , então temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert) para verificar a convergência dessa série. O teste da razão diz que se:
limk to infty | ak+1ak | = L
E se ak = 19 cdot k^3 ( 23 )^k , então a série converge absolutamente.
Vamos calcular isso para a nossa série:
ak+1ak = 19 cdot (k+1)^3 ( 23 )^k+1 cdot 9 cdot k^3 ( 23 )^k = k^3(k+1)^3 cdot 23
Então:
limk to infty k^3(k+1)^3 cdot 23 = 11 cdot 23 = 23
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , pela regra do teste da razão, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como já vimos que a série converge absolutamente, isso automaticamente implica que ela também converge condicionalmente. Mas para ficar claro, vamos entender a diferença:
  • Convergência absoluta: A série dos valores absolutos converge.
  • Convergência condicional: A série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
No nosso caso, como a série dos valores absolutos converge, a série original também converge, e de forma mais forte, de maneira absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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