Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k k^2(2 k+1)(k+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
sumk=1^infty (-1)^k k^2(2k+1)(k+3)
(a) converge absolutamente e
(b) converge condicionalmente.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional das séries. Além disso, vamos usar testes de comparação para analisar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty | (-1)^k k^2(2k+1)(k+3) | = sumk=1^infty k^2(2k+1)(k+3)
Agora, precisamos determinar se essa nova série converge. Observando o comportamento dos termos para valores grandes de k^22k^2 = 12 , percebemos que:
  • O numerador sumk=1^infty k^2(2k+1)(k+3) cresce como .
  • O denominador para grandes se comporta aproximadamente como .
Então, os termos da série se comportam como:
Isso significa que, para grandes , os termos não tendem a zero, mas sim a . Como os termos não tendem a zero, pelo Teste da Divergência, a série
não converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos não converge, concluímos que a série original
sumk=1^infty (-1)^k k^2(2k+1)(k+3)
não converge absolutamente.
Agora, vamos verificar a convergência condicional. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos limk to infty k^2(2k+1)(k+3) = limk to infty k^22k^2 + 7k + 3 = 12 diminuem monotonamente para zero, então a série alternada converge.
Vamos analisar :
Como o limite de não é zero (é ), o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge.

Resposta

A série
sumk=1^infty (-1)^k k^2(2k+1)(k+3)
não converge absolutamente nem condicionalmente.

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