Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa série: sumk=1^infty (-1)^k+1 k!6^k e precisamos descobrir duas coisas: (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. O conteúdo aqui é sobre séries infinitas e tipos de convergência. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, além de utilizar testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se somarmos todos os termos sem considerar o sinal negativo, a série ainda dá certo.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta da nossa série, vamos analisar a série dos valores absolutos: sumk=1^infty k!6^k. Aqui, estamos ignorando o (-1)^k+1 porque queremos só os valores positivos.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para essa série. O Teste da Razão ajuda a determinar se uma série converge ou diverge olhando para o limite da razão entre termos consecutivos.
Então, calculamos:
L = limk to infty (k+1)!6^k+1 div k!6^k = limk to infty (k+1) cdot k!6 cdot 6^k cdot 6^kk! = limk to infty k+16

Passo 5

Olhando para o limite L = limk to infty k+16, percebemos que, conforme k cresce, esse limite tende ao infinito. No Teste da Razão, se L > 1, a série diverge.

Passo 6

Como L = infty > 1, concluímos que a série dos valores absolutos, sumk=1^infty k!6^k, diverge. Isso significa que a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que, se os termos bk = k!6^k forem decrescentes e tendirem a zero conforme k cresce, então a série original converge condicionalmente.

Passo 8

Vamos ver se os termos bk = k!6^k são decrescentes e tendem a zero:
  1. Decrescimento: Observando (k+1)!6^k+1 versus k!6^k, vemos que (k+1)!6^k+1 = (k+1) cdot k!6 cdot 6^k = k+16 cdot k!6^k. Como k+16 > 1 para k >= 6, os termos começam a aumentar.
  2. Tendência a zero: Já vimos que k!6^k tende ao infinito conforme k aumenta, não a zero.
Então, os termos não são decrescentes e não tendem a zero.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série também não converge condicionalmente; ela diverge.

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