Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa série:
e precisamos descobrir duas coisas: (a) se ela converge absolutamente e (b) se ela converge condicionalmente. O conteúdo aqui é sobre séries infinitas e tipos de convergência. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, além de utilizar testes de convergência como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se somarmos todos os termos sem considerar o sinal negativo, a série ainda dá certo.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta da nossa série, vamos analisar a série dos valores absolutos:
. Aqui, estamos ignorando o
porque queremos só os valores positivos.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para essa série. O Teste da Razão ajuda a determinar se uma série converge ou diverge olhando para o limite da razão entre termos consecutivos.
Então, calculamos:
Passo 5
Olhando para o limite
, percebemos que, conforme
cresce, esse limite tende ao infinito. No Teste da Razão, se
, a série diverge.
Passo 6
Como
, concluímos que a série dos valores absolutos,
, diverge. Isso significa que a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que, se os termos
forem decrescentes e tendirem a zero conforme
cresce, então a série original converge condicionalmente.
Passo 8
Vamos ver se os termos
são decrescentes e tendem a zero:
-
Decrescimento: Observando
versus , vemos que . Como para , os termos começam a aumentar. -
Tendência a zero: Já vimos que
tende ao infinito conforme aumenta, não a zero.
Então, os termos não são decrescentes e não tendem a zero.
Resposta
(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série também não converge condicionalmente; ela diverge.
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Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se