Nos exercícios de 1 a 6, ache o domínio da função R com valores vetoriais.
R(t) = ln(t + 1) i + arctan(t) j

Passo 1

Então, pessoal, o exercício que a gente vai resolver hoje pede para encontrar o domínio da função vetorial . O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar analisar cada componente da função para descobrir para quais valores de ela está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte . Sabemos que o logaritmo natural, , está definido somente para valores positivos de . Ou seja, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:
Resolvendo essa desigualdade, temos:
Então, para a parte do logaritmo, precisa ser maior que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte . A função arco-tangente, ou , está definida para todos os números reais. Não há restrições para nessa parte da função. Ou seja, pode ser qualquer número real.

Passo 4

Para encontrar o domínio da função vetorial completa , precisamos considerar onde ambas as partes da função estão definidas ao mesmo tempo. Já vimos que:
  • está definida para
  • está definida para todo
A interseção desses dois intervalos é .

Resposta

O domínio da função é .

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