Nos exercícios 8 e 9 ache o trabalho total realizado pelo campo de forças ao deslocar uma partícula ao longo de um arco da curva dada. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças ao mover uma partícula ao longo de um arco da curva . Estamos lidando com conceitos de física e cálculo, especificamente com o cálculo do trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é trabalho em física e como calcular integrais de linha para campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho é a energia transferida para ou de um objeto via força que faz com que ele se mova. A fórmula geral para calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um deslocamento é dada por:
Aqui, é o vetor força e é um pequeno deslocamento ao longo da curva . O ponto entre e indica o produto escalar entre esses vetores.

Passo 3

Para resolver a integral, precisamos parametrizar a curva . Isso significa expressar as coordenadas e (ou , , e se for 3D) em função de um parâmetro, geralmente . Suponha que a curva esteja no plano e seja parametrizada por:
Então, o deslocamento diferencial é:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral de trabalho:
Isso significa que precisamos conhecer a expressão de em termos de . Se for dado como , então substituímos e na força.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
Depois, integramos essa expressão de a :

Passo 6

Finalmente, resolvemos a integral definida para encontrar o trabalho total realizado pela força ao mover a partícula ao longo do arco . O resultado da integral será o valor do trabalho em joules (já que a força está em newtons e o deslocamento em metros).

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao deslocar a partícula ao longo da curva é dado pela integral:
Esse valor representa a quantidade de energia transferida pela força durante o deslocamento.

Exercícios relacionados

é e é
Calcule a derivada da função .
Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto .
Resolva as integrais: