Nos exercícios 8 e 9 ache o trabalho total realizado pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo de um arco da curva
dada. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o trabalho total realizado por um campo de forças
ao mover uma partícula ao longo de um arco da curva
. Estamos lidando com conceitos de física e cálculo, especificamente com o cálculo do trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é trabalho em física e como calcular integrais de linha para campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho é a energia transferida para ou de um objeto via força que faz com que ele se mova. A fórmula geral para calcular o trabalho
realizado por uma força
ao longo de um deslocamento
é dada por:
Aqui,
é o vetor força e
é um pequeno deslocamento ao longo da curva
. O ponto entre
e
indica o produto escalar entre esses vetores.
Passo 3
Para resolver a integral, precisamos parametrizar a curva
. Isso significa expressar as coordenadas
e
(ou
,
, e
se for 3D) em função de um parâmetro, geralmente
. Suponha que a curva
esteja no plano
e seja parametrizada por:
Então, o deslocamento diferencial
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral de trabalho:
Isso significa que precisamos conhecer a expressão de
em termos de
. Se
for dado como
, então substituímos
e
na força.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar:
Depois, integramos essa expressão de
a
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos a integral definida para encontrar o trabalho total realizado pela força
ao mover a partícula ao longo do arco
. O resultado da integral será o valor do trabalho
em joules (já que a força está em newtons e o deslocamento em metros).
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças
ao deslocar a partícula ao longo da curva
é dado pela integral:
Esse valor representa a quantidade de energia transferida pela força durante o deslocamento.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
.
Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
.
Resolva as integrais: