é e é

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral de linha para resolver:
O caminho vai do ponto até o ponto .
O que a gente vai precisar aqui são conceitos de calculo de integrais de linha e, talvez, verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente consegue simplificar bastante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o acúmulo de uma função (no caso, um campo vetorial) ao longo de um caminho específico entre dois pontos.
Aqui, o campo vetorial é . A integral de linha vai medir como esse campo atua ao movermos de para seguindo o caminho .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que:
Para que seja conservativo, as seguintes condições devem ser atendidas:
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Já que é conservativo, podemos achar uma função potencial tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Sabemos que:
Comparando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função potencial completa é:
Como estamos calculando uma integral definida, a constante se cancela ao subtrairmos nos pontos e .

Passo 7

Agora, aplicamos o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
Vamos calcular nos pontos e :
Para :
Convertendo para frações:
Somando:
Para :

Passo 8

Agora, subtraindo de :

Resposta

A integral de linha avaliada é:

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