integralC(2 y-x) d x+(y^2+2 x) d y ; A é (0,-1) e B é (1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral de linha para resolver:
integralC(2 y - x) , dx + (y^2 + 2 x) , dy
O caminho vai do ponto até o ponto .
O que a gente vai precisar aqui são conceitos de calculo de integrais de linha e, talvez, verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente consegue simplificar bastante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o acúmulo de uma função (no caso, um campo vetorial) ao longo de um caminho específico entre dois pontos.
Aqui, o campo vetorial é . A integral de linha vai medir como esse campo atua ao movermos de para seguindo o caminho .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial partial F1partial y = partial F2partial x tal que:
partial F1partial y = partial (2y - x)partial y = 2
Para que partial F2partial x = partial (y^2 + 2x)partial x = 2 seja conservativo, as seguintes condições devem ser atendidas:
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Já que partial phipartial x = 2y - x e partial phipartial y = y^2 + 2x é conservativo, podemos achar uma função potencial phi(x, y) = integral (2y - x) , dx = 2y x - 12x^2 + h(y) tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar partial phipartial y = 2x + h'(y) em relação a partial phipartial y = y^2 + 2x para encontrar 2x + h'(y) = y^2 + 2x implies h'(y) = y^2 :
h(y) = integral y^2 , dy = 13y^3 + C
Sabemos que:
Comparando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função potencial phi(x, y) = 2y x - 12x^2 + 13y^3 + C completa é:
Como estamos calculando uma integral definida, a constante se cancela ao subtrairmos nos pontos e .

Passo 7

Agora, aplicamos o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A)
Vamos calcular phi(1, 2) = 2(2)(1) - 12(1)^2 + 13(2)^3 = 4 - 0.5 + 83 nos pontos 4 = 123, 0.5 = 12 = 36, 83 e 123 - 1.53 + 83 = 12 - 1.5 + 83 = 18.53 :
Para phi(0, -1) = 2(-1)(0) - 12(0)^2 + 13(-1)^3 = 0 - 0 - 13 = -13 :
Convertendo para frações:
Somando:
Para :

Passo 8

Agora, subtraindo integralC F cdot dr = 18.53 - ( -13 ) = 18.5 + 13 = 19.53 = 6.5 de :

Resposta

A integral de linha avaliada é:
integralC(2 y - x) , dx + (y^2 + 2 x) , dy = 6.5

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