é
e
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral de linha para resolver:
O caminho
vai do ponto
até o ponto
.
O que a gente vai precisar aqui são conceitos de calculo de integrais de linha e, talvez, verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente consegue simplificar bastante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o acúmulo de uma função (no caso, um campo vetorial) ao longo de um caminho específico entre dois pontos.
Aqui, o campo vetorial é
. A integral de linha vai medir como esse campo atua ao movermos de
para
seguindo o caminho
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Para que
seja conservativo, as seguintes condições devem ser atendidas:
Vamos calcular:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Já que
é conservativo, podemos achar uma função potencial
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Sabemos que:
Comparando as duas expressões:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, a função potencial
completa é:
Como estamos calculando uma integral definida, a constante
se cancela ao subtrairmos
nos pontos
e
.
Passo 7
Agora, aplicamos o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos:
Vamos calcular
nos pontos
e
:
Para
:
Convertendo para frações:
Somando:
Para
:
Passo 8
Agora, subtraindo
de
:
Resposta
A integral de linha avaliada é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
.
Encontre o valor de
.
Nos exercícios 8 e 9 ache o trabalho total realizado pelo campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo de um arco da curva
dada. Suponha que o arco seja medido em metros e a força seja medida em newtons.
Obtenha as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
.