Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
contida no cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla
, onde a função
é
. A superfície
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica para entender a superfície e de cálculo para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a superfície
. Ela está definida pelo plano
e está limitada pelo cilindro
. Isso significa que a área que vamos integrar é onde essas duas superfícies se intersectam.
Passo 3
Vamos expressar
em termos de
usando a equação do plano. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso facilita porque agora nossa função
pode ser escrita apenas em termos de
e
.
Passo 4
Substituindo
na função
, temos:
Vamos expandir isso:
Passo 5
Agora, precisamos achar a expressão para o elemento de área
na superfície. Como temos
em termos de
e
, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Agora, expressamos a integral dupla com as substituições feitas:
Onde
é a projeção da superfície
no plano
, que é o cilindro
.
Passo 7
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região
é um círculo de raio 1:
Substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em
e depois em
.
Após realizar os cálculos (que envolvem integrais conhecidas de fun��ões trigonométricas e polinomiais), chegamos ao resultado final.
Resposta
A integral dupla
vale
.
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Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
situada no primeiro octante
I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.
Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.