Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, S a parte do plano -x+z=2 contida no cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla integral duplaS f(x, y, z) , dS, onde a função f(x, y, z) é x^2 + y^2 + z^2. A superfície S é a parte do plano -x + z = 2 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica para entender a superfície e de cálculo para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a superfície S. Ela está definida pelo plano -x + z = 2 e está limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1. Isso significa que a área que vamos integrar é onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 3

Vamos expressar z em termos de x usando a equação do plano. A equação -x + z = 2 pode ser rearranjada para z = x + 2. Isso facilita porque agora nossa função f(x, y, z) pode ser escrita apenas em termos de x e y.

Passo 4

Substituindo z = x + 2 na função f(x, y, z), temos:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (x + 2)^2
Vamos expandir isso:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + y^2 + 4x + 4

Passo 5

Agora, precisamos achar a expressão para o elemento de área dS na superfície. Como temos z em termos de x e y, usamos a fórmula:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = 1 e partial zpartial y = 0
Então:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , dx , dy = raiz2 , dx , dy

Passo 6

Agora, expressamos a integral dupla com as substituições feitas:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD (2x^2 + y^2 + 4x + 4) cdot raiz2 , dx , dy
Onde D é a projeção da superfície S no plano xy, que é o cilindro x^2 + y^2 <= 1.

Passo 7

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região D é um círculo de raio 1:
x = r costheta, y = r sintheta, dx , dy = r , dr , dtheta
Substituindo na integral:
raiz2 integral0^2pi integral0^1 (2r^2cos^2theta + r^2sin^2theta + 4rcostheta + 4) r , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em r e depois em theta.
Após realizar os cálculos (que envolvem integrais conhecidas de fun��ões trigonométricas e polinomiais), chegamos ao resultado final.

Resposta

A integral dupla integral duplaS f(x, y, z) , dS vale 4pi raiz2.

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