Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre a superfície
, que é a parte do plano
dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela calcula o “acumulado” da função
em toda a área da superfície
. Para isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar um elemento de área
que nos ajude a somar todos esses valores.
Passo 3
Nosso plano é
. Para achar
, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Substituindo
e
na função
:
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, integraremos em relação a
primeiro:
Calculando de 0 a 2:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Calculando de 0 a
:
-
de 0 a dá -
de 0 a dá 0, porque -
de 0 a também dá 0, pois
Então, tudo fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
contida no cilindro
.
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
situada no primeiro octante
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
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