Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre a superfície
, que é a parte do plano
dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela calcula o “acumulado” da função
em toda a área da superfície
. Para isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar um elemento de área
que nos ajude a somar todos esses valores.
Passo 3
Nosso plano é
. Para achar
, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Substituindo
e
na função
:
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, integraremos em relação a
primeiro:
Calculando de 0 a 2:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Calculando de 0 a
:
-
de 0 a dá -
de 0 a dá 0, porque -
de 0 a também dá 0, pois
Então, tudo fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.