Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, S a porção do plano z=y+4 interior ao cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a superfície , que é a parte do plano dentro do cilindro . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Basicamente, ela calcula o “acumulado” da função em toda a área da superfície . Para isso, precisamos parametrizar a superfície e encontrar um elemento de área que nos ajude a somar todos esses valores.

Passo 3

Nosso plano é dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy . Para achar partial zpartial x = 0 e partial zpartial y = 1 , usamos a fórmula:
dS = raiz0^2 + 1^2 + 1 = raiz2 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2 + y^2 + 8y + 16 = x^2 + 2y^2 + 8y + 16 na função :

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Substituindo f(r, theta) = r^2 + 2(r sin(theta))^2 + 8(r sin(theta)) + 16 = r^2 + 2r^2 sin^2(theta) + 8r sin(theta) + 16 e na função :

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = raiz2 integral0^2pi integral0^2 ( r^2 + 2r^2 sin^2(theta) + 8r sin(theta) + 16 ) r , dr , dtheta

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
raiz2 integral0^2pi integral0^2 ( r^3 + 2r^3 sin^2(theta) + 8r^2 sin(theta) + 16r ) dr , dtheta

Passo 9

Agora, integraremos em relação a raiz2 integral0^2pi [ r^44 + 2r^4 sin^2(theta)4 + 8r^3 sin(theta)3 + 8r^2 ]0^2 dtheta primeiro:
raiz2 integral0^2pi ( 164 + 32 sin^2(theta)4 + 64 sin(theta)3 + 32 ) dtheta = raiz2 integral0^2pi (4 + 8 sin^2(theta) + 643 sin(theta) + 32 ) dtheta
Calculando de 0 a 2:
raiz2 integral0^2pi (36 + 8 sin^2(theta) + 643 sin(theta) ) dtheta
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos em relação a raiz2 [ 36theta - 8 cos(2theta)2 - 643 cos(theta) ]0^2pi :
raiz2 times 72pi = 72pi raiz2
Calculando de 0 a :
  • de 0 a
  • de 0 a dá 0, porque
  • de 0 a também dá 0, pois
Então, tudo fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, S a parte do plano -x+z=2 contida no cilindro x^2+y^2=1.
Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x y z, S a parte do plano x+y+z=1 situada no primeiro octante
Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x^2+y^2, S a parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 que está situada acima do plano z=0.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d) S = 1/(2*2!) + 1/(4*3!) + 1/(8*4!) + 1/(16*5!) ...