Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x y z, S a parte do plano x+y+z=1 situada no primeiro octante

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de sobre a superfície , que é a parte do plano no primeiro octante. Isso envolve conceitos de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação do plano para z = 1 - x - y :
Isso facilita porque agora podemos expressar apenas em termos de e .

Passo 3

No primeiro octante, 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 - x e são todos maiores ou iguais a zero. Então, as restrições para e são:

Passo 4

A diferencial de área dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy para o plano é dada por:
partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1
Calculando as derivadas:
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Então,

Passo 5

Substituindo f(x, y, z) = x cdot y cdot (1 - x - y) na função integral duplaS f(x, y, z) , dS = raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x y (1 - x - y) , dy , dx :
Agora, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 - x x y (1 - x - y) , dy = x integral0^1 - x y (1 - x - y) , dy :
x integral0^1 - x (y - x y - y^2) , dy = x [ y^22 - x y^22 - y^33 ]0^1 - x
Expandindo:
x [ (1 - x)^22 - x (1 - x)^22 - (1 - x)^33 ]
Substituindo x [ (1 - x)^2 (1 - x)2 - (1 - x)^33 ] = x [ (1 - x)^32 - (1 - x)^33 ] = x ( 16 (1 - x)^3 ) = x (1 - x)^36 :
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em raiz3 integral0^1 x (1 - x)^36 , dx = raiz36 integral0^1 x (1 - x)^3 , dx :
raiz36 integral1^0 (1 - u) u^3 (-du) = raiz36 integral0^1 (1 - u) u^3 , du
Usando a substituição raiz36 integral0^1 (u^3 - u^4) , du = raiz36 [ u^44 - u^55 ]0^1 = raiz36 ( 14 - 15 ) = raiz36 cdot 120 = raiz3120 , , os limites ficam de para :
Expandindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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