Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
situada no primeiro octante
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla de
sobre a superfície
, que é a parte do plano
no primeiro octante. Isso envolve conceitos de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação do plano para
:
Isso facilita porque agora podemos expressar
apenas em termos de
e
.
Passo 3
No primeiro octante,
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Então, as restrições para
e
são:
Passo 4
A diferencial de área
para o plano é dada por:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Substituindo
na função
:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Expandindo:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Usando a substituição
,
, os limites ficam de
para
:
Expandindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.
b) Justifique em que intervalo vale a igualdade
.
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
contida no cilindro
.
Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.