Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função
sobre uma superfície
. Essa superfície é a parte do paraboloide dado por
que está acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície
. O paraboloide
abre para baixo e intersecta o plano
quando
, ou seja, quando
. Isso significa que a região
é o “topo” do paraboloide acima do círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Para calcular a integral dupla sobre a superfície
, podemos usar coordenadas polares porque a região de integração é circular (
). Nas coordenadas polares, temos:
onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Precisamos expressar a função
em coordenadas polares. Substituindo:
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
na coordenada polar. A fórmula para
em um paraboloide é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo em
:
Passo 5
Agora, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
.
Substituindo:
Expandindo:
Integrando:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Passo 8
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
contida no cilindro
.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d)
d)
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f)
f)