Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função
sobre uma superfície
. Essa superfície é a parte do paraboloide dado por
que está acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície
. O paraboloide
abre para baixo e intersecta o plano
quando
, ou seja, quando
. Isso significa que a região
é o “topo” do paraboloide acima do círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Para calcular a integral dupla sobre a superfície
, podemos usar coordenadas polares porque a região de integração é circular (
). Nas coordenadas polares, temos:
onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Precisamos expressar a função
em coordenadas polares. Substituindo:
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
na coordenada polar. A fórmula para
em um paraboloide é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo em
:
Passo 5
Agora, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
.
Substituindo:
Expandindo:
Integrando:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Passo 8
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente
.