Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x^2+y^2, S a parte do paraboloide z=1-x^2-y^2 que está situada acima do plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função sobre uma superfície . Essa superfície é a parte do paraboloide dado por que está acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície . O paraboloide abre para baixo e intersecta o plano quando , ou seja, quando . Isso significa que a região é o “topo” do paraboloide acima do círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre a superfície x = r cos theta y = r sin theta , podemos usar coordenadas polares porque a região de integração é circular ( ). Nas coordenadas polares, temos:
onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 4

Precisamos expressar a função f(r, theta, z) = r^2 em coordenadas polares. Substituindo:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área partial zpartial x = -2x partial zpartial y = -2y na coordenada polar. A fórmula para dS = raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dx , dy = raiz4r^2 + 1 , r , dr , dtheta em um paraboloide é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo em :

Passo 5

Agora, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr :
integral1^5 (u - 1)4 cdot raizu cdot du8 = 132 integral1^5 (u - 1) raizu , du
Fazendo a substituição 132 ( integral1^5 u^3/2 , du - integral1^5 u^1/2 , du ) , então 132 ( [ 25 u^5/2 ]1^5 - [ 23 u^3/2 ]1^5 ) = 132 ( 25 (5^5/2 - 1) - 23 (5^3/2 - 1) ) ou . Quando , e quando , .
Substituindo:
Expandindo:
Integrando:

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
5^1/2 = raiz5 approx 2.236 5^3/2 = 5 raiz5 approx 11.180 5^5/2 = 25 raiz5 approx 55.901
Substituindo:
132 ( 25 (55.901 - 1) - 23 (11.180 - 1) ) = 132 ( 25 times 54.901 - 23 times 10.180 )
= 132 ( 21.9608 - 6.7867 ) = 132 times 15.1741 approx 0.4748

Passo 8

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^2pi 0.4748 , dtheta = 0.4748 times 2pi approx 2.984 :

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente .

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Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d) S = 1/(2*2!) + 1/(4*3!) + 1/(8*4!) + 1/(16*5!) ...
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f) S = -pi^2 / (4^2 * 2!) + pi^4 / (4^4 * 4!) + -pi^6 / (4^6 * 6!) + ...