Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d) S = 1/(2*2!) + 1/(4*3!) + 1/(8*4!) + 1/(16*5!) ...

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é expressar essa série como um somatório, identificar de qual série de Maclaurin ela se inspira (das quatro funções mais discutidas), e descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin e entender como manipular somatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o padrão dos termos da série. Observando os denominadores:
Percebe-se que os fatores que acompanham os fatoriais são potências de 2: , que podem ser escritas como
Então, podemos generalizar o -ésimo termo da série como:

Passo 3

Agora, vamos escrever a série como um somatório. Observando que o primeiro termo corresponde a , temos:

Passo 4

Para identificar a série de Maclaurin que se assemelha a essa, vamos lembrar das quatro séries mais comuns:
  1. Série de :
  1. Série do seno:
  1. Série do cosseno:
  1. Série do seno hiperbólico:
Analisando nossa série, ela se parece mais com a da função , mas com alguns ajustes.

Passo 5

Vamos tentar relacionar a nossa série com a série de . Considerando a série de :
Comparando com nossa série, vemos que temos um no denominador e começamos em . Para ajustar isso, podemos reescrever a série de integrando ou diferenciando.

Passo 6

Vamos integrar a série de para reduzir o fatorial no denominador:
Integrando termo a termo:
Agora, ajustando o índice para :
Comparando com nossa série original, vemos que quase conseguimos, mas precisamos de um em vez de . Podemos ajustar isso multiplicando por :
Ainda não está exatamente igual, mas já estamos perto.

Passo 7

Para coincidir perfeitamente com nossa série:
Precisamos que o termo seja substituído por 1, ou seja, . Vamos avaliar a série integrada em :
Isso nos dá uma série relacionada a . Entretanto, nossa série original tem em vez de . Portanto, a série pode ser expressa como:

Passo 8

Para encontrar a soma dessa série, reconhecemos que ela está relacionada à série de . Sabemos que:
Nossa série começa em e tem , então podemos manipular a série de para chegar nela.
Considerando:
Portanto, nossa série é:

Resposta

A série pode ser expressa como:
Ela converge para .

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Nos exercícios 1 6 2 5, calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
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Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f) S = -pi^2 / (4^2 * 2!) + pi^4 / (4^4 * 4!) + -pi^6 / (4^6 * 6!) + ...
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
Calcule os limites laterais de f(x) no ponto a = -2: f(x) = (x + 3) / (x + 2).