Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é expressar essa série como um somatório, identificar de qual série de Maclaurin ela se inspira (das quatro funções mais discutidas), e descobrir para quais valores de
essa série converge. Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin e entender como manipular somatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o padrão dos termos da série. Observando os denominadores:
-
-
-
-
- …
Percebe-se que os fatores que acompanham os fatoriais são potências de 2:
, que podem ser escritas como
Então, podemos generalizar o
-ésimo termo da série como:
Passo 3
Agora, vamos escrever a série como um somatório. Observando que o primeiro termo corresponde a
, temos:
Passo 4
Para identificar a série de Maclaurin que se assemelha a essa, vamos lembrar das quatro séries mais comuns:
- Série de
:
- Série do seno:
- Série do cosseno:
- Série do seno hiperbólico:
Analisando nossa série, ela se parece mais com a da função
, mas com alguns ajustes.
Passo 5
Vamos tentar relacionar a nossa série com a série de
. Considerando a série de
:
Comparando com nossa série, vemos que temos um
no denominador e começamos em
. Para ajustar isso, podemos reescrever a série de
integrando ou diferenciando.
Passo 6
Vamos integrar a série de
para reduzir o fatorial no denominador:
Integrando termo a termo:
Agora, ajustando o índice para
:
Comparando com nossa série original, vemos que quase conseguimos, mas precisamos de um
em vez de
. Podemos ajustar isso multiplicando por
:
Ainda não está exatamente igual, mas já estamos perto.
Passo 7
Para coincidir perfeitamente com nossa série:
Precisamos que o termo
seja substituído por 1, ou seja,
. Vamos avaliar a série integrada em
:
Isso nos dá uma série relacionada a
. Entretanto, nossa série original tem
em vez de
. Portanto, a série pode ser expressa como:
Passo 8
Para encontrar a soma dessa série, reconhecemos que ela está relacionada à série de
. Sabemos que:
Nossa série começa em
e tem
, então podemos manipular a série de
para chegar nela.
Considerando:
Portanto, nossa série
é:
Resposta
A série pode ser expressa como:
Ela converge para
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.
Nos exercícios
, calcule
.
,
a porção do plano
interior ao cilindro
.
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f)
f)
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de
no ponto
.
Calcule os limites laterais de no ponto
:
.
Calcule os limites laterais de