Sejam
e
as bases para
. Se
pertence a
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem duas bases para o espaço
, que são
e
. A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor
na base
, dado que na base
ele é representado por
. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
:
Onde
e
. Vamos calcular isso:
Então, temos que
no sistema de coordenadas padrão.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar
, as coordenadas de
na base
. Para isso, vamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Onde
e
. Vamos montar as equações correspondentes:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema:
- Da segunda equação:
. - Substituindo na primeira equação:
. - Encontrando
: .
Então, os valores são
e
.