Sejam S=(1,-1),(2,1) e T=(3,0),(4,-1) as bases para R^2. Se v pertence a R^2 e [v]T=[l1 2], determine [v]S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem duas bases para o espaço 1 2, que são e . A tarefa é descobrir as coordenadas do vetor na base , dado que na base ele é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 1 2. Isso quer dizer que o vetor v = 1 cdot t1 + 2 cdot t2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base v = 1 cdot (3, 0) + 2 cdot (4, -1) = (3 + 8, 0 + (-2)) = (11, -2) :
Onde e . Vamos calcular isso:
Então, temos que no sistema de coordenadas padrão.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar v = a cdot s1 + b cdot s2 , as coordenadas de (11, -2) = a cdot (1, -1) + b cdot (2, 1) na base a + 2b = 11 - a + b = -2 . Para isso, vamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Onde e . Vamos montar as equações correspondentes:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Encontrando : .
Então, os valores são e .

Resposta

[v]S = 5 3

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