Exercicios:
O coeficiente de expansâo alpha é definido como: ^alpha=1V(sigma Vsigma T), e a compressibilidade isotérmica kappaT como: kappaT=-1V(partial Vpartial p)T. Sabendo que, C,-C Cr=alpha^2 T VkappaT mostre que para um Cp-CV=n R gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que, pra um gás ideal, a diferença entre as capacidades caloríficas a pressão constante ( Cp) e a volume constante ( CV) é igual a nR. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente os conceitos de coeficiente de expansão térmica ( alpha), compressibilidade isotérmica ( kappaT) e as relações entre as capacidades caloríficas. Vamos precisar usar as definições dessas propriedades e a equação dos gases ideais pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais, que é PV = nRT. Essa fórmula relaciona a pressão ( P), o volume ( V), a quantidade de substância ( n), a constante dos gases ( R) e a temperatura ( T).

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente de expansão térmica ( alpha). Pela definição:
alpha = 1V ( partial Vpartial T )P
Usando a equação dos gases ideais V = nRTP, derivamos V em relação a T mantendo P constante:
partial Vpartial T = nRP
Então,
alpha = 1V cdot nRP = nRPV
Mas da equação dos gases ideais, PV = nRT, então:
alpha = nRnRT = 1T

Passo 4

Agora, vamos calcular a compressibilidade isotérmica ( kappaT). Pela definição:
kappaT = -1V ( partial Vpartial P )T
Novamente, usando V = nRTP, derivamos V em relação a P mantendo T constante:
partial Vpartial P = -nRTP^2
Então,
kappaT = -1V cdot ( -nRTP^2 ) = nRTP^2 V
Substituindo PV = nRT:
kappaT = nRTP^2 cdot nRTP = 1P

Passo 5

Agora temos alpha = 1T e kappaT = 1P. Vamos substituir esses valores na expressão dada:
Cp - CV = alpha^2 T VkappaT
Substituindo:
Cp - CV = ( 1T )^2 cdot T cdot V1P = 1T^2 cdot T cdot V1P = VT1P = V cdot PT
Usando novamente a equação dos gases ideais PV = nRT, temos:
V cdot PT = nRTP cdot PT = nR

Resposta

Para um gás ideal, a diferença entre as capacidades caloríficas é Cp - CV = nR.

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