Seja u um vetor do R^3 perpendicular aos vetores v e w. Sabendo que v e w formam um ângulo de 30^circ e que |u|= 6,|| v |=3 e || w||=3, calcule u cdot(v times w).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre vetores no espaço tridimensional ( ). Temos um vetor que é perpendicular aos vetores e . Sabemos as magnitudes desses vetores e o ângulo entre e . O que precisamos fazer é calcular o produto escalar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial gera um vetor que é perpendicular tanto a quanto a . Como também é perpendicular a e , ele está alinhado ou oposto ao vetor .

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial |v times w| = |v| cdot |w| cdot sin(theta) . A fórmula para isso é:
onde é o ângulo entre e .

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
|v| = 3, |w| = 3, theta = 30^circ
Então:
|v times w| = 3 cdot 3 cdot sin(30^circ) = 9 cdot 0,5 = 4,5

Passo 5

Como u cdot (v times w) = |u| cdot |v times w| cdot cos(0^circ) = 6 cdot 4,5 cdot 1 = 27 está alinhado com , o ângulo entre eles é , e o cosseno de é 1. Portanto, o produto escalar é simplesmente o produto das magnitudes:

Resposta

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