Para os exercícios 7-YY, dada uma função f e um contorno C, use parametrizações de C, ou pedaços de C, para calcular
integralC f(z) d z
  1. f(z)=z-1 e C é o arco de z=0 a z=2 consistindo do
    b) segmento z=x,(0 <= x <= 2) do eixo real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que você me passou. A função que a gente precisa integrar é , e o contorno é o segmento do ponto até no eixo real. A matéria aqui é sobre integrais de funções complexas ao longo de um caminho específico no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o contorno z = x, onde 0 <= x <= 2 . Como é simplesmente o segmento do eixo real de até , podemos escrever em termos de uma variável real que varia de 0 a 2. Então, temos:
Dessa forma, estamos descrevendo todo o caminho de 0 a 2 no eixo real.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para dz = dx , que é a diferencial de em relação a . Como , derivando ambos os lados em relação a , temos:
Então, simplesmente se torna .

Passo 4

Substituindo a parametrização na integral, temos:
integralC f(z) , dz = integral0^2 f(x) , dx
Como f(x) = x - 1 e integral0^2 (x - 1) , dx , substituímos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular essa integral agora. A integral de integral0^2 (x - 1) , dx = integral0^2 x , dx - integral0^2 1 , dx em relação a integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2 de 0 a 2 é:
integral0^2 1 , dx = [ x ]0^2 = 2 - 0 = 2
Calculando cada parte:
2 - 2 = 0
Então, a integral total é:

Resposta

A integral vale .

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