Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e
é o arco de
a
consistindo do
b) segmento
do eixo real.
b) segmento
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que você me passou. A função que a gente precisa integrar é
, e o contorno
é o segmento do ponto
até
no eixo real. A matéria aqui é sobre integrais de funções complexas ao longo de um caminho específico no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o contorno
. Como
é simplesmente o segmento do eixo real de
até
, podemos escrever
em termos de uma variável real
que varia de 0 a 2. Então, temos:
Dessa forma, estamos descrevendo todo o caminho de 0 a 2 no eixo real.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para
, que é a diferencial de
em relação a
. Como
, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Então,
simplesmente se torna
.
Passo 4
Substituindo a parametrização na integral, temos:
Como
e
, substituímos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular essa integral agora. A integral de
em relação a
de 0 a 2 é:
Calculando cada parte:
Então, a integral total é:
Resposta
A integral vale
.