Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e
é a fronteira do quadrado com vértices nos pontos
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa
ao longo do contorno
, que é a borda de um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
, seguindo a orientação anti-horária. Para isso, vamos usar parametrizações das partes do contorno
e integrar em cada segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o contorno
em quatro segmentos:
- Segmento 1: de
a - Segmento 2: de
a - Segmento 3: de
a - Segmento 4: de
a
Vamos parametrizar cada um desses caminhos para facilitar a integração.
Passo 3
Segmento 1: de
a
- Parametrização:
, onde varia de a - Derivada:
- Conjugado de
: - Função:
- Integral:
Passo 4
Segmento 2: de
a
- Parametrização:
, onde varia de a - Derivada:
- Conjugado de
: - Função:
- Integral:
(Aqui usamos a integral de que resulta em )
Passo 5
Segmento 3: de
a
- Parametrização:
, onde varia de a - Derivada:
- Conjugado de
: - Função:
- Integral:
Passo 6
Segmento 4: de
a
- Parametrização:
, onde varia de a - Derivada:
- Conjugado de
: - Função:
- Integral:
(Aqui novamente usamos a integral de )
Passo 7
Agora, vamos somar todas as integrais dos quatro segmentos:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é o arco de a consistindo do
b) segmentodo eixo real.
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é :
b) o semicírculo;
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
é definida em termos da equação
e
é o arco de
a
ao longo da curva
.
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)