Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é a fronteira do quadrado com vértices nos pontos e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo do contorno , que é a borda de um quadrado com vértices nos pontos , , e , seguindo a orientação anti-horária. Para isso, vamos usar parametrizações das partes do contorno e integrar em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o contorno em quatro segmentos:
  1. Segmento 1: de a
  2. Segmento 2: de a
  3. Segmento 3: de a
  4. Segmento 4: de a
Vamos parametrizar cada um desses caminhos para facilitar a integração.

Passo 3

Segmento 1: de a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral:

Passo 4

Segmento 2: de a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral: (Aqui usamos a integral de que resulta em )

Passo 5

Segmento 3: de a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral:

Passo 6

Segmento 4: de a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral: (Aqui novamente usamos a integral de )

Passo 7

Agora, vamos somar todas as integrais dos quatro segmentos:

Resposta

O valor da integral é .

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Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é o arco de a consistindo do
    b) segmento do eixo real.
Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é :
    b) o semicírculo ;
Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. é definida em termos da equação
e é o arco de a ao longo da curva .
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)