Para os exercícios 7-YY, dada uma função f e um contorno C, use parametrizações de C, ou pedaços de C, para calcular
integralC f(z) d z
  1. f(z)=pi exp (pi barz) e C é a fronteira do quadrado com vértices nos pontos 0,1,1+i e i orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo do contorno , que é a borda de um quadrado com vértices nos pontos , , e , seguindo a orientação anti-horária. Para isso, vamos usar parametrizações das partes do contorno e integrar em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o contorno em quatro segmentos:
  1. Segmento 1: de a
  2. Segmento 2: de a
  3. Segmento 3: de a
  4. Segmento 4: de a
Vamos parametrizar cada um desses caminhos para facilitar a integração.

Passo 3

Segmento 1: de integral0^1 pi e^pi t dt = [ e^pi t ]0^1 = e^pi - 1 a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral:

Passo 4

Segmento 2: de integral0^1 pi e^pi e^-ipi t cdot i dt = pi e^pi i integral0^1 e^-ipi t dt = 2 e^pi a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral: (Aqui usamos a integral de que resulta em )

Passo 5

Segmento 3: de integral0^1 pi (-1) e^pi(1 - t) (-dt) = pi e^pi(1 - t) dt = e^pi - 1 a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral:

Passo 6

Segmento 4: de integral0^1 pi e^-ipi(1 - t) (-i dt) = 2 a
  • Parametrização: , onde varia de a
  • Derivada:
  • Conjugado de :
  • Função:
  • Integral: (Aqui novamente usamos a integral de )

Passo 7

Agora, vamos somar todas as integrais dos quatro segmentos:
Integral Total = (e^pi - 1) + 2e^pi + (e^pi - 1) + 2 = 4e^pi

Resposta

O valor da integral é .

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