Para os exercícios 7-YY, dada uma função f e um contorno C, use parametrizações de C, ou pedaços de C, para calcular
integralC f(z) d z
  1. f(z)=(z+2) / z e C é :
    b) o semicírculo z=2 e^i theta,(pi <= theta <= 2 pi);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função ao longo de um contorno , que é um semicírculo definido por com . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especialmente parametrização de contornos e integração de funções complexas. Vamos precisar entender como parametrizar o contorno e como aplicar a fórmula da integral de linha para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno . Como é um semicírculo de raio 2, podemos representá-lo como , onde varia de a . Aqui, é o ângulo no plano complexo, e nos dá a representação polar de um número complexo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdtheta = 2i e^itheta em relação a , que é . Derivando , temos:
Essa derivada será usada na fórmula da integral de linha.

Passo 4

A fórmula para a integral de uma função integralC f(z) dz = integrala^b f(z(theta)) cdot dzdtheta dtheta ao longo de um contorno parametrizado por é:
No nosso caso, e . Vamos substituir e na fórmula.

Passo 5

Substituindo integralC z + 2z dz = integralpi^2pi 2e^itheta + 22e^itheta cdot 2i e^itheta dtheta e na integral, temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Simplificando a fração dentro da integral:
2e^itheta + 22e^itheta = 2(e^itheta + 1)2e^itheta = e^itheta + 1e^itheta = 1 + 1e^itheta = 1 + e^-itheta
Agora, a integral fica:
integralpi^2pi (1 + e^-itheta) cdot 2i e^itheta dtheta

Passo 7

Distribuindo os termos dentro da integral:
2i integralpi^2pi e^itheta dtheta + 2i integralpi^2pi e^-itheta cdot e^itheta dtheta
Observe que 2i integralpi^2pi e^itheta dtheta + 2i integralpi^2pi 1 dtheta , então temos:

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
2i integralpi^2pi e^itheta dtheta = 2i [ e^ithetai ]pi^2pi = 2i ( e^i2pi - e^ipii ) = 2i ( 1 - (-1)i ) = 2i ( 2i ) = 4
Segunda integral:
2i integralpi^2pi 1 dtheta = 2i (theta) gr|pi^2pi = 2i (2pi - pi) = 2i (pi) = 2pi i

Passo 9

Somando as duas integrais:
4 + 2pi i
Portanto, a integral ao longo do semicírculo é .

Resposta

A integral ao longo do semicírculo é igual a .

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