Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
e é :
b) o semicírculo ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função ao longo de um contorno , que é um semicírculo definido por com . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especialmente parametrização de contornos e integração de funções complexas. Vamos precisar entender como parametrizar o contorno e como aplicar a fórmula da integral de linha para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o contorno . Como é um semicírculo de raio 2, podemos representá-lo como , onde varia de a . Aqui, é o ângulo no plano complexo, e nos dá a representação polar de um número complexo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Derivando , temos:
Essa derivada será usada na fórmula da integral de linha.
Passo 4
A fórmula para a integral de uma função ao longo de um contorno parametrizado por é: