Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é :
    b) o semicírculo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função ao longo de um contorno , que é um semicírculo definido por com . Isso envolve conceitos de cálculo complexo, especialmente parametrização de contornos e integração de funções complexas. Vamos precisar entender como parametrizar o contorno e como aplicar a fórmula da integral de linha para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno . Como é um semicírculo de raio 2, podemos representá-lo como , onde varia de a . Aqui, é o ângulo no plano complexo, e nos dá a representação polar de um número complexo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Derivando , temos:
Essa derivada será usada na fórmula da integral de linha.

Passo 4

A fórmula para a integral de uma função ao longo de um contorno parametrizado por é:
No nosso caso, e . Vamos substituir e na fórmula.

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Simplificando a fração dentro da integral:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Distribuindo os termos dentro da integral:
Observe que , então temos:

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 9

Somando as duas integrais:
Portanto, a integral ao longo do semicírculo é .

Resposta

A integral ao longo do semicírculo é igual a .

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