Nos exercícios de 1 a 8, determine uma região do plano para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando pelo ponto na região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar uma região no plano onde a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto . Para isso, vamos usar o Teorema da Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução é única e existe. Precisamos verificar onde a função que define a equação diferencial é contínua e onde sua derivada parcial em relação a também é contínua. Vamos passo a passo entender isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é . Vamos isolar :
Agora, temos a equação na forma padrão , onde .

Passo 3

Segundo o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard-Lindelöf), para que haja uma solução única passando pelo ponto , a função e sua derivada parcial em relação a , , devem ser contínuas em uma região ao redor desse ponto.
Então, nossa tarefa é verificar onde e são contínuas.

Passo 4

Vamos analisar a continuidade de . A função é uma razão de polinômios, então ela é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. O denominador somente quando e .
Portanto, é contínua em todo o plano , exceto no ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos derivar em relação a :
Essa derivada parcial também é uma razão de polinômios. Portanto, ela é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, em todo o plano exceto no ponto .

Passo 6

Resumindo o que descobrimos:
  • Tanto quanto são contínuas em todo o plano menos no ponto .
Então, para qualquer ponto diferente de , existe uma região ao redor desse ponto onde a solução da equação diferencial é única.

Resposta

A equação diferencial possui uma única solução passando pelo ponto em qualquer região do plano que não inclua o ponto . Ou seja, a solução é única para todos os pontos onde .

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