Nos exercícios de 1 a 8, determine uma região do plano
para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando pelo ponto
na região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar uma região no plano
onde a equação diferencial
tem uma única solução passando pelo ponto
. Para isso, vamos usar o Teorema da Existência e Unicidade, que nos ajuda a saber onde a solução é única e existe. Precisamos verificar onde a função que define a equação diferencial é contínua e onde sua derivada parcial em relação a
também é contínua. Vamos passo a passo entender isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é
. Vamos isolar
:
Agora, temos a equação na forma padrão
, onde
.
Passo 3
Segundo o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard-Lindelöf), para que haja uma solução única passando pelo ponto
, a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, devem ser contínuas em uma região ao redor desse ponto.
Então, nossa tarefa é verificar onde
e
são contínuas.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de
. A função é uma razão de polinômios, então ela é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero. O denominador
somente quando
e
.
Portanto,
é contínua em todo o plano
, exceto no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar
em relação a
:
Essa derivada parcial também é uma razão de polinômios. Portanto, ela é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, em todo o plano
exceto no ponto
.
Passo 6
Resumindo o que descobrimos:
- Tanto
quanto são contínuas em todo o plano menos no ponto .
Então, para qualquer ponto
diferente de
, existe uma região ao redor desse ponto onde a solução da equação diferencial é única.
Resposta
A equação diferencial
possui uma única solução passando pelo ponto
em qualquer região do plano
que não inclua o ponto
. Ou seja, a solução é única para todos os pontos
onde
.
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e
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, tais que
e
. Neste caso, determine a probabilidade de que
os eventos e
ocorram simultaneamente.
os eventos