Nos exercícios de 1 a 8, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando pelo ponto (x0, y0) na região. (4 - y^2) * y' = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar uma região no plano xy onde a equação diferencial tem uma única solução que passa por um ponto específico . Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o teorema de existência e unicidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para isolar . Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, nossa função f(x, y) é .

Passo 3

Para garantir que haja uma única solução passando por , precisamos que a função f(x, y) seja contínua e que sua derivada parcial em relação a y também seja contínua na região considerada. Isso é baseado no teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a continuidade de . Essa função é contínua a menos que o denominador seja zero, ou seja, quando . Resolvendo isso:
Então, f(x, y) não é contínua quando ou .

Passo 5

Agora, vamos olhar para a derivada parcial de f em relação a y:
Essa derivada também não é definida quando ou .

Passo 6

Então, para que tanto f(x, y) quanto sejam contínuas, precisamos que e . Portanto, a região onde a solução única existe é qualquer região do plano xy onde y não seja igual a nem a -2.

Resposta

A região do plano xy para a qual a equação diferencial tem uma única solução passando pelo ponto é qualquer região onde e . Ou seja, .

Exercícios relacionados