Nos exercícios de 1 a 8, determine uma região do plano
para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando pelo ponto
na região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar uma região no plano
onde a equação diferencial
tem uma única solução que passa por um ponto específico
. Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e o teorema de existência e unicidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para isolar
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, nossa função
é
.
Passo 3
Para garantir que haja uma única solução passando por
, precisamos que a função
seja contínua e que sua derivada parcial em relação a
também seja contínua na região considerada. Isso é baseado no teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a continuidade de
. Essa função é contínua a menos que o denominador seja zero, ou seja, quando
. Resolvendo isso:
Então,
não é contínua quando
ou
.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também não é definida quando
ou
.
Passo 6
Então, para que tanto
quanto
sejam contínuas, precisamos que
e
. Portanto, a região onde a solução única existe é qualquer região do plano
onde
não seja igual a
nem a
.
Resposta
A região do plano
para a qual a equação diferencial
tem uma única solução passando pelo ponto
é qualquer região onde
e
. Ou seja,
.
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