Nos problemas de 1 a 28, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais, mais especificamente, aquelas que podem ser resolvidas por separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de um jeito que possamos integrar os dois lados separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos isolar
e
:
Agora, dividimos ambos os lados por
e
para separar as variáveis:
Simplificando, lembrando que
e
, temos:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é que, ao ter
de um lado e
do outro, podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável.
Integramos o lado esquerdo com respeito a
:
E o lado direito com respeito a
:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 4
Agora, juntamos as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.