Nos problemas de 1 a 28, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte: . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais, mais especificamente, aquelas que podem ser resolvidas por separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de um jeito que possamos integrar os dois lados separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . A equação dada é:
Podemos isolar e :
Agora, dividimos ambos os lados por e para separar as variáveis:
Simplificando, lembrando que e , temos:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A ideia aqui é que, ao ter de um lado e do outro, podemos integrar cada lado em relação à sua própria variável.
Integramos o lado esquerdo com respeito a :
E o lado direito com respeito a :
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 4

Agora, juntamos as integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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